2.7.2. Угловое ускорение.

Вектор угловой скорости может изменяться как за счет изменения скорости вращения тела вокруг оси (в этом случае он изменяется о величине), так и за счет поворота оси вращения в пространстве (в этом случае изменяется по направлению). Для характеристики быстроты изменения вводится физическая величина , называемая угловым ускорением.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Средним угловым ускорением называется величина , где t – промежуток времени за который произошло изменение угловой скорости.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Мгновенным ускорением называется величина равная ;

Если направление оси вращения в пространстве постоянно, то угловая скорость изменяется только по величине и в этом случае .

Если под  понимать проекцию вектора на направление , то последняя формула примет вид . Здесь  – алгебраическая величина и

если  , то >0 (векторы и одного направления),

е

Рис. 2.16

сли  , то <0 ().

1) Если >0  вращение равноускоренное () (рис. 2.16).

2) Если <0 – () (рис. 2.16).

В системе СИ []=рад/с².

Для равноускоренного движения:

Следовательно,  = ₀ + ·(t - t₀). При t₀ = 0 получаем  = ₀ + ·t.

Тогда ;

Окончательно

(2.6)

Теперь установим

2.7.3. Связь между линейной и угловой скоростью.

Пусть за малый промежуток времени t тело повернулось на угол  (рис. 2.17). Точка, находящаяся на расстоянии R от оси, проходит при этом путь S = R. По определению линейная скорость точки будет равна

Рис. 2.17

.

Итак, v = ·R и чем дальше отстоит точка от оси вращения, тем с большей линейной скоростью она движется.

Найдем теперь линейное ускорение точек вращающегося тела. Нормальное ускорение равно

. Итак,

Модуль тангенциального ускорения .

Отсюда

.

Итак,

(2.7)

Таким образом, как нормальное, так и тангенциальное ускорения растут линейно с увеличением R (R – расстояние от точки до оси вращения).

Полученное ранее уравнение v=R устанавливает связь между модулями векторов и . Пользуясь специальным математическим аппаратом («векторное исчисление») можно установить связь между самими векторами.

И

Рис. 2.18

звестно: векторным произведением двух векторов и называется вектор (обозначение: ), обладающий следующими свойствами:

1. Модуль вектора равен произведению модулей перемножаемых векторов на синус угла  между ними (рис. 2.18).

2

Рис. 2.19

. Вектор перпендикулярен к плоскости, в которой лежат вектора и , причем направление его связано с направлениями и по правилу правого винта: если смотреть вслед вектору , то совершаемый по кратчайшему пути поворот от первого сомножителя ко второму осуществляется по часовой стрелке.

Пусть тело вращается вокруг оси Z с угловой скоростью  (рис. 2.19). Легко видеть, что векторное произведение на радиус–вектор точки, скорость которой мы хотим найти, представляет собой вектор, совпадающий по направлению с вектором и имеющий модуль, равный rsin=R, т.е. v.

Таким образом, векторное произведение

.

Иногда применяют другие обозначения векторного произведения

или

Учитывая, что , получим

Первое слагаемое в последнем выражении равно нулю, т.к. sin = 0. Следовательно, .

Итак,

, (2.8)

где - перпендикулярная к оси вращения составляющая радиус-вектора , проведенного из точки, взятой на оси.

Модулю векторного произведения можно дать простую геометрическую интерпретацию: выражение AB·sin численно равно площади параллелограмма, построенного на векторах и (рис. 2.20), вектор в этом случае  плоскости чертежа и направлен за чертеж.

ЛЕКЦИЯ 3