3.2.1.1. Элементы кинематики материальной точки

и вращательного движения твердого тела

Кинематика изучает движение тел без учета причин, вызывающих это движение.

Динамика рассматривает движение тел в зависимости от причин.

Рассмотрим произвольное криволинейное движение материальной точки, положение которой в пространстве определяется тремя координатами, которые, в свою очередь, являются функциями времени. Существует множество систем координат, однако мы будем пользоваться простейшей - трехмерной декартовой системой координат, представляющей собой три взаимно-ортогональные координатные оси - x, y и z (рис. 3.1).

Рис. 3.1

Положение точки определяется при помощи радиус-вектора. Радиус-вектором r (t) называется вектор, проведенный из начала координат в точку пространства, где в момент времени t находится материальная точка. Радиус-вектор выражается через координаты x, y и z следующим образом:

r(t) = ix + jy + kz,

где i, j и k - соответствующие орты, т. е. единичные векторы, направленные вдоль соответствующих осей.

Характеристики движения тела: траектория, путь, перемещение.

Траектория - это кривая, которую описывает материальная точка в пространстве.

Путь S - это расстояние, пройденное по криволинейной траектории из начальной точки 1, в которой материальная точка находилась в момент времени t, в положение 2. Этот путь она проходит за время t. (S - скалярная величина).

Перемещение - это вектор r, проведенный из точки 1 в точку 2.

Основные характеристики движения: скорость и ускорение.

Скорость характеризует быстроту перемещения материальной точки по траектории.

Средняя скорость:

. (3.1)

Мгновенная скорость:

. (3.2)

Через проекции скорость выражается так:

.

Ускорение характеризует быстроту изменения скорости. В общем случае скорость может изменяться как по абсолютной величине, так и по направлению. Изменение скорости по направлению характеризуется нормальным ускорением . Изменение скорости по абсолютной величине характеризуется тангенциальным или касательным ускорением . Мгновенное ускорение, т. е. ускорение в данный момент времени определяется как предел отношения приращения скорости к интервалу времени t , за который произошло это приращение:

. (3.3)

Пусть в точке 1 траектории скорость равна v₁, а в точке 2 – соответственно v₂ (рис. 3-2).

Рис. 3.2

Отложим на АС отрезок AF= v₁ и разобьем v на две составляющие:

. (3.4)

Тогда

, (3.5)

где

, а . (3.6)

Можно показать, что нормальная составляющая ускорения равна

(3.7)

и направлена по радиусу к центру кривизны в данной точке, а касательная составляющая ускорения, которая и характеризует изменение скорости по модулю, равна

Для закрепления настоящей темы рассмотрим пример 1.

Пример 1

Уравнение движения материальной точки вдоль оси Х имеет вид Х = A + Bt + Ct³ , где A = 2 м; В = 1 м/с; С = - 0,5 м/с³. Найти координату, скорость и ускорение точки в момент времени 2с.

Дано:

X = A + Bt + Ct³

A = 2 м

В = 1 м/с

С = - 0,5 м/с³

t = 2 c

_____________

x - ? v - ? a - ?

Решение. Координату точки найдем, подставив в уравнение движения числовые значения коэффициентов А, В, С и времени,

x = ( 2+12 - 0,5  2³ ) м = 0 .

Так как требуется найти скорость и ускорение в определенный момент времени (t = 2 c), то это значит, что нужно определить мгновенные величины v_x и a_x .

Мгновенная скорость есть первая производная от координаты по времени

v_x = = B + 3Ct² .

Ускорение точки найдем, взяв первую производную от скорости по времени

a_x = = 6Ct .

Произведя вычисления для момента времени t = 2 c, получим

v_x = ( 1 - 3  0,5  2² ) м/с = - 5 м/с ,

а_x = 6 ( - 0,5 )  2 м/с² = - 6 м/с² .