- •1. Теория и методика обучения математики. Психологические и педагогические основы преподавания математики.
- •2. Целостный процесс обучения математики и его существенные характеристики.
- •3. Методическая деятельность учителя математики.
- •4. Математика как наука и как предмет. Актуальные проблемы теории и методики обучения математики.
- •5. Цели обучения математике. Проблемы школ и классов с математической специализацией.
- •6. Методы и формы обучения.
- •7. Методы обучения математике, их классификация.
- •8. Методы научного познания в школьном курсе математики.
- •9. Анализ и синтез как методы научного познания, их применение при обучении математике. Индукция и дедукция в преподавании математики.
- •10. Урок - основная форма обучения. Основные требования к современному уроку математики. Типы уроков по математике и их структура.
- •11. Методы проблемного обучения математике.
- •12. Аксиоматический метод и метод математического моделирования в обучении учащихся математике.
- •13. Планирование работы учителя. Этапы подготовки учителя математики к уроку.
- •14. Математические понятия. Методика их формирования.
- •15. Виды теорем и связи между ними. Необходимые и достаточные условия.
- •16. Методика работы над аксиомой, теоремой. Методы доказательства. Приведите примеры.
- •17. Задачи как применение теории и как средство развития математического мышления. Классификация задач. Методика обучения учащихся умению решать задачи.
- •18. Внеклассная работа по математике, ее цели и содержание.
- •19.Формы и методы оценки и контроля знаний по математике. Тестовые формы контроля.
- •20. Требования, предъявляемые к оценке знаний и умений учащихся по математике.
- •21. Пути систематизации и обобщения школьного курса математики.
- •22. Эвристика в обучении математике
- •23. Проблема развития познавательного интереса при обучении математике
- •24. Логическое мышление учащихся пери обучении математике
- •25. Развитие понятия числа в школьном курсе математики.
- •26. Учение о функциях в школьном курсе математики.
- •27. Изучение трансцендентных функций.
- •28. Линия уравнений и неравенств в школьном курсе математики.
- •29. Методика изучения тождественных преобразований в средней школе.
- •30. Методика изучения производной, интеграла и их применений.
- •31. Векторы в средней школе.
- •32. Методика изучения геометрических построений.
- •33. Методика изучения геометрических преобразований
- •34. Методика изучения параллельности на плоскости и в пространстве.
- •35. Методика изучения перпендикулярности на плоскости и в пространстве.
- •36. Методика изучения площадей фигур и объемов тел.
36. Методика изучения площадей фигур и объемов тел.
Методика изучения площадей фигур в курсе геометрии средней школы.
При изучении темы «Площади фигур» используется такая схема: простая фигура - площадь фигуры как величина - площадь прямоугольника - площадь параллелограмма - площадь трапеции - площадь подобных фигур.
Перед введением понятия «простые фигуры» учащимся предлагается по готовым чертежам назвать: простую ломаную, замкнутую ломаную, выпуклый многоугольник, плоский треугольник, плоский пятиугольник. Выпуклый многоугольник - многоугольник, который лежит в одной плоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону. Плоским многоугольником называется конечная часть плоскости, ограниченная многоугольником. После этого дается определение: геометрическую фигуру будем называть простой, если ее можно разбить на конечное число плоских треугольников. «Площадь простой фигуры - это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:
1) равные фигуры имеют равные площади;
2) если фигура разбивается на части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей ее частей;
3) площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице;
В таком определении новой величины использован аксиоматический подход. С помощью свойств описана аддитивность площади простой фигуры, определена мера (единица измерения) площади. Первое свойство площади определяет термин «равновеликие». Если фигуры равны, то равны и их площади, однако обратное утверждение не всегда верно.
С формулами площадей некоторых фигур учащиеся познакомились в курсе арифметики. Таким образом, они уже подготовлены к восприятию вывода формулы площади прямоугольника. Первоначально доказываем следующее свойство: площади двух прямоугольников с равными основаниями относятся как их высоты. Для вывода формулы площади прямоугольника воспользуемся только что доказанным свойством по отношению к квадрату, со стороной 1 и прямоугольником со сторонами 1 и а и а и в. Получаем:
S1=а, S=S1 *в.
Следовательно: S=ав.
Площади подобных фигур.
Площади подобных фигур относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров.
При доказательстве этого утверждения используют понятие простой фигуры, определение подобных фигур. Если фигура разбивается на простые треугольники, площади которых обозначим через S, а фигура - на треугольники, площади которых и фигуры и подобны с коэффициентом , то линейные размеры треугольников в раз изменены, по отношению к размерам треугольников .
Площадь круга.
Круг - плоская фигура, но ее нельзя разбить на простые треугольники. Поэтому, такая фигура имеет площадь S, если существуют содержащие её простые фигуры и содержащиеся в ней простые фигуры с площадями, как угодно мало отличающимися от S.
При проведении уроков по теме «Площадь фигур» вывод общих формул должен закрепляться на частных примерах. Изложение теоретического материала должно быть максимально сокращено (в разумных пределах), что позволило бы сэкономить время для решения более сложных задач. (Возможно проведение уроков-лекций для изложения теории). Желательно проводить самостоятельные работы, как обучающего, так и контролирующего характера по каждому из изучаемых случаев.
Методика изучения объемов фигур в курсе геометрии.
Задача определения объемов тел относится к глубокой древности. Она возникла в связи с практической деятельностью людей. Говоря простым языком, объем – это часть пространства, занимаемая телом. Точнее: объем – некоторая физическая, а именно геометрическая величина, характеризующая то свойство тел, что они трехмерны или занимают часть пространства.
В изучении темы «Объемы тел» в курсе стереометрии прослеживается аналогия с темой «Площади фигур» и распределение учебного материала такое: простое тело - объем тела как величина - объем прямоугольного параллелепипеда - объем треугольной призмы - объем призмы - тела, имеющие равные объемы - объем полной треугольной пирамиды - объем произвольной полной пирамиды - объем усеченной треугольной пирамиды - объем произвольной усеченной пирамиды - объемы подобных тел - объем тел вращения.
Для вывода формулы объема, могут быть использованы:
1. Принцип Кавальери: объемы (или площади) двух тел (фигур) равны, если равны между собой площади (длины) соответствующих сечений, проведенных параллельно некоторой данной плоскости (прямой).
2. Формула Симпсона.
Методика изучения темы «Объем. Объемы призмы. Объемы прямоугольного параллелепипеда»
Тема «Объемы многогранников» изучается в 11 классе. На уроки геометрии в 11 классе отводится по два часа в неделю, всего 68 часов. Из них на объемы многогранников отводится 15-19 часов (в зависимости от учебника).
Подготовительной работой к началу изучения темы «Объемы многогранников» может служить повторение темы «Многоугольники», свойств и формул площадей многоугольников, многогранников.
Основная цель уроков - ввести понятие объема тела, рассмотреть свойства объемов, теорему об объеме прямоугольного параллелепипеда и следствие об объеме прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник.
Для введения понятия объема учащимся понадобятся знания из курса планиметрии, которые необходимо повторить, а именно: понятие многоугольника, его площадь, свойства площадей, знание формул для нахождения площадей некоторых многоугольников, понятие многогранника, их виды, свойства. Погорелов при доказательстве теоремы об объеме призмы(), дополняет сначала её до параллелепипеда; используется свойство симметрии для того, чтобы показать, что достроенная призма симметрична исходной, а следовательно их объемы равны. Учащиеся уже умеют находить объем параллелепипеда, а площадь основания (состоящая из двух треугольников) они умеют находить еще из планиметрии. Следовательно, они смогут найти объем призмы. Далее Погорелов рассматривает произвольную призму. Так же как и Атанасян, Погорелов разбивает основание призмы на треугольники. Затем находит объем каждой такой призмы, а уже затем по определению объемов находит объем данной призмы (как сумма объемов треугольных призм, её составляющих).
Методика изучения темы «Объемы пирамиды»
На изучение темы «Объем пирамиды» целесообразно отвести три урока.
На первом уроке следует рассмотреть доказательство теоремы об объеме пирамиды(). Основная цель данного урока - вывести формулу для нахождения объема пирамиды, показать применение теории к решению задач. Для этого необходимо предложить ученикам задачи на нахождение площади поверхности пирамиды, вспомнить основные элементы, свойства. Предложить учащимся задачи на нахождение площади основания и т.д.
Второй урок можно посвятить повторению вопросов теории и решению задач. На третьем уроке выводится формула объема усеченной пирамиды как следствие теоремы об объеме пирамиды. В учебнике Атанасяна предлагается вывести эту формулу самостоятельно.
Вывод формулы объема пирамиды в учебнике Атанасяна рассматривается в два этапа. Вначале автор предлагает рассмотреть для треугольной пирамиды, а затем - для произвольной. Таким образом, хорошо прослеживается связь с ранее уже изученным. Следствием теоремы, в отличие от Погорелова, является формула объема для усеченной пирамиды. Доказательства в данном учебнике не приведено. В учебнике Атанасян формулировка формулы приведена, как задача, причем автор задачу решает сам