27. Изучение трансцендентных функций.

Трансцендентные функции,аналитические функции, не являющиеся алгебраическими Простейшими примерами Т. ф. служат показательная функция, тригонометрические функции, логарифмическая функция.

Показательная ф-я

Сущ-ют 2 подхода к изуч-ю этой темы:

1 подход(Колм., Мордк.):Показ.ф-я изуч-ся в 11 кл позже темы «Произ-я» 10 кл.

«+»:можно опираться на пон-е произ-й при изуч-и св-в ф-и; «-»:таблица произ-х будет сначала неполнойÞу уч-ся не будет сформировано целост.пон-е произ-й элем.ф-и

2 подход(Никольский,Алимов):Показ.ф-ю (10 кл) изучают раньше произ-й (11 кл).

Редко встреч-ся подход,когда внутри самой темы меняются местами изуч-е показ.и лог. ф-и:лог.ф-я рассм.раньше показат.,а показат.ф-я вводится как обратная к лог-кой.

Осн.пон-я:1)степень с иррац.пок-лем; иррац.ур-я; 2)показ.ф-я,ее св-ва и гр-к; 3)тожд.преобр-я показ.выр-й; 4)реш-е показ. ур-й и нер-в с опорой на св-ва показ.ф-и; 5)произ-я показ. ф-и (ax)’=axlna; (ex)’= ex.

Методич.замечания:

(1)Пон-е корня n степени и степени с рац.по-казателем явл.обобщением пон-й(ранее изученных) кв.корня и степени с цел.пок-лем.

(2)Необ-мо уделить вним-е отработке св-в степеней и фор-ю навыков тожд.преобр-й.

(3)Пон-е степени с иррац.пок-лем вводится на наглядно-интуитивной основе.

(4)Изуч-е св-в показ.ф-и д.б.построено в соотв.с общ.схемой исслед-я.

(5)Вывод ф-лы произ.показ.ф-и производится на нагл.-интуит.основе.

Рассм.дифф.ур-е роста(убывания)пок-ля, сле-дует отметить,что показ.ф-я выступает как матем.модель,используемая для описания реальных процессов.

a>1 0<a<1

1)D(y)=(- µ;+µ)

2)E(y)=(0;+µ)

3)Общ.вида,непериод.

4)­ на (- µ;+µ)

5)ограничена снизу 0, сверху не огранич

6)не имеет ни наиб., ни наим.знач-й

7)непрерывна

8)выпукла вверх ø

9)Ох-горизонт.ас-та при х®+µ

10)Произ.всегда >0

(2x)’=2xln2>0 1)D(y)=(- µ;+µ)

2)E(y)=(0;+µ)

3)Общ.вида,непериод.

4)¯ на (- µ;+µ)

5) ограничена снизу 0, сверху не огранич

6)не имеет ни наиб., ни наим.знач-й

7)непрерывна

8)выпукла вниз è

9)Ох-горизонт.ас-та при х®-µ

10)Произ.всегда <0

((1/2)x)’=(1/2)xln(1/2)<0

Логарифмическая ф-я

Сущ-ют 2 подхода к изуч-ю этой темы:

1 подход(Колм., Мордк.):Лог.ф-я изуч-ся в 11 кл позже темы «Произ-я» 10 кл.

«+»:можно опираться на пон-е произ-й при изуч-и св-в ф-и; «-»:таблица произ-х будет сначала неполнойÞу уч-ся не будет сформировано целост.пон-е произ-й элем.ф-и

2 подход(Никольский,Алимов):Лог.ф-ю (10 кл) изучают раньше произ-й (11 кл).

Редко встреч-ся подход,когда лог.ф-я рассм.раньше показат.,а показат.ф-я вводится как обратная к лог-кой.

Осн.пон-я:1)лог.числа,св-ва лог-мов; 2)лог. ф-я,ее св-ва и гр-к; 3)тожд.преобр-я лог.выр-й; реш-е лог.ур-й и нер-в с опорой на св-ва лог. ф-и; 4)пон-е нат.лог-ма,число е; 5)произ-я лог. ф-и (logax)’=1/(xlna); (lnx)’=1/x.

Методич.замечания:

(1)При изуч-и лог.ф-и нужно обратить вним-е на пон-е взаимнообрат.ф-й на примере показ.и лог.ф-й с одинак.осн-ми. Св-ва лог.ф-и следуют из св-в показ.ф-и и Th об обрат.ф-и. Полезно чтобы уч-ся повторили эту Th.

Th Гр-ки взаимнообрат.ф-й f(x) и g(x) сим-ны отн-но у=х.

Эта Th дает возм-ть легко построить гр-к y=logax, т.к. уже известно,как выглядит гр-к ф-и y=ax.

Пр

(2)Уч-ся должны усвоить обл-ти опр-я и обл-ти знач-я.

(3)Особ.вним.следует уделить осн.лог.тож-ву: alogab=b (b>0,a>0,a≠1),т.к.это св-во исп-ся при реш-и ур-й и нер-в.

a>1 0<a<1

1)D(y)=(0;+µ)

2)E(y)=(- µ;+µ)

3)Общ.вида,непериод.

4)­ на (0;+µ)

5)не ограничена ни сверху,ни снизу

6)не имеет ни наиб., ни наим.знач-й

7)непрерывна

8)выпукла вверх æ 1)D(y)=(0;+µ)

2)E(y)=(- µ;+µ)

3)Общ.вида,непериод.

4)¯ на (0;+µ)

5)не ограничена ни сверху,ни снизу

6)не имеет ни наиб., ни наим.знач-й

7)непрерывна

8)выпукла вниз è

Тригонометрические фун-ии

Основные понятия

1. Св-ва фун-ий (непрерывность, периодичность, чёт/нечёт.,убыв./возр., экстремумы, максимумы, минимумы, ограниченность,знакопостоянство).

2. Св-ва и графики функ-й y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx/

Сведения о фун-ях и их графиках дополняются (экстремумы, периодичность) и систематизируются в виде общей схемы исслед. фун-й. Формируется представление об асимптотах (y=tgx, y=ctgx).

Св-ва фун-й можно интерпретировать графически (чтение граф.). Рассматривается вопрос о преобразовании графиков (паралл-ый перенос на заданный вектор, растяжение по осям), что позволяет осознанно строить графики гармонич. колебан.

y=sinx

Рассм. понятие синуса числа, основное триг. тождество, простейшие ур-я и нер-ва (sint=1/2, sint>1/2), форм-лы приведения, соотношения триг. фун-й в прямоуг-ом треуг-ке. Фун-я y=sinx, рассм. как триг. фун-я числового и углового аргум.

1. D(f)=(-∞:+∞)=R

2. нечёт sin (-t)=sint→график симметр. относ-но начала корд.

3. периодич., Т=2 - период

4. y ↑ на

y↓ на

5. огранич. сверху и снизу : -1≤sinx≤1

6. yнаим=-1 для t=

yнаиб=1 для t=

7. непрерывна на R

8. E(f)=[-1;1].

9. График:

Строим полуволну на

симметрия относит. (0;0); периодич. на всей числовой оси.

y=cosx

Св-ва фун-и y=cosx аналогично рассматрив-ся. Поэтому целесообразно ввести фун-ю y=cosx с использованием формул приведения

cosx=sin (x+ /2)

Эти фун-и имеют одинаковые по форме графики в силу параллельного переноса графика фун-и y=sinx на вектор (- /2;0). График y=cosx, также как y=sinx, наз. синусойдой.

Замечание: св-ва фун-и y=cosx учащиеся могут сформулировать самостоят., опираясь на св-ва sinx и построенного графика.

1. D(f)=(-∞:+∞)=R

2. чёт, cos(-x)=cosx → график симм. относ Oy

3. периодич., Т=2 - период

4. y ↑ на

y↓ на

5. огранич. сверху и снизу: -1≤cosx≤1

6. yнаим=-1 для t=

yнаиб=1 для t=

7. непрерывна на R

8. E(f)=[-1;1].

y=tgx

1. D(f)=R, кроме x=

Показываем уч-ся систему координат, на которой пунктиром отмечены прямые. Графиком будет множ-во ветвей м/у пунктир. линиями.

2. периодич., Т= - период

tg(x- )=tgx=tg(x+ )

Построим ветвь в полосе от до , затем будем сдвигать по Ox вправо и влево на ,2 …

3. нечёт. tg(-x)=-tg(x)→Построим часть графика на (0; ), затем воспользуемся симметрией относит. начала координат.

4. y ↑ на

5. не огранич. ни снизу, ни сверху.

6. не имеет ни наим., ни наиб. зн-я

7. непрерывна на

В точках вида x= , фун-я терпит разрыв→эти прямые будут вертикальными асимптотами.

8. E(f)= (-∞:+∞).

9. График:

y=ctgx

Уч-ся предлагается самостоятельно построить график ф-и y=-tg(x+ /2).

После этого обосновывается, что построили график фун-и y=ctgx, т.к. ctgx=-tg(x+ /2).

Уч-ся сами могут описать св-ва y=ctgx, опираясь на св-ва tgx и построенный график.

1. D(y)=R, кроме x= k

2. периодич., Т= - период

3. нечёт. сtg(-x)=-сtgx

4. y↓ на

5. не огранич. ни св., ни снизу

6. не имеет ни мин, ни максим. значения

7. непрерывна на

x= k- вертик.асимптоты

8. E(y)= (-∞:+∞).