§7. Монотонные последовательности.
Теорема.
Любая монотонная ограниченная последовательность сходится.
Доказательство.
-
Пусть {xn} возрастает и ограничена сверху, то есть x1
x2
…
xn
…
и
В
n:
xn
В.
Так
как множество {xn}
всех элементов последовательности
ограниченно сверху, то
sup
{xn}=а.
Докажем,
что
xn=а.
sup
{xn}=a
1)
n:
xn
а
2)
0
N:
xn>а-
,
а в силу возрастания {xn}
n>N:
а-
<xN
xn
а<а+
а-
<xn<а+
│xn-а│<
xn=а.
2) 1)
2. Пусть {xn} убывает и ограничена снизу.
Тогда
{-xn}
возрастает и ограничена сверху. В самом
деле x1
x2
…
xn
…
- x1
-
x2
…
-
xn
…
{xn}
ограничена снизу
А
n:
А
xn
- xn
-А
{-xn}
ограничена сверху и возрастает. Тогда
по доказанному в п.1
(-xn)=-а=sup
{-xn}.
А тогда а=
xn=
inf
{xn}.
Следствие.
Любая
возрастающая (убывающая) последовательность
либо сходится к своей точной верхней
грани (соответственно, к своей точной
нижней грани), либо стремится к +
(соответственно, к -
)
§8. Теорема о вложенных отрезках.
Теорема.
Пусть последовательность отрезков (1) { [an, bn] } удовлетворяет следующим условиям:
1).
n:
[an+1,
bn+1]
[an,
bn]
2).
дл.[an,
bn]=
(bn-
an)=0
Тогда
последовательность концов отрезков
{an}
и {bn}
сходится и
an=
bn=с.
При этом с является единственной точкой, принадлежащей всем отрезкам последовательности (1).
Доказательство.
Рассмотрим последовательность {an} левых концов отрезков .
Из
условия 1) следует, что
n,
n=1, 2, …: аn+1
an
{an}
возрастает. А так как
n:
an
b1
(an
bn
b1),
то {an}
ограничена сверху.
{an}
возрастает и ограничена сверху, а тогда
по теореме §7 она сходится
с:
с=
an.
Рассмотрим теперь последовательность {bn} правых концов отрезков [an, bn], n=1, 2, …
Так
как для любого
n: bn=an+(bn-an),
то по теореме о пределе суммы двух
сходящихся последовательностей {an}
и {bn-an}
bn=с+0=с.
Согласно
следствию §7
an=с=sup
{an},
а так как {bn}
убывает и ограничена снизу, то
bn=с=inf
{bn}.
По определению sup {an} и inf {bn}:
n:
an
с
bn
n:
с
[an,
bn].
Докажем теперь, что точка с - единственная точка, принадлежащая всем отрезкам последовательности (1).
Предположим,
что
с′,
с′
с
и такое, что
n:
с′
[an,
bn].
Значит,
n:
-( bn-
an)
с-
с′
bn-
an,
а так как с′
с,
то |с- с′|>0
0<|с- с′|
(bn-
an).
Но
это противоречит тому, что
(bn-
an)=0.
Замечание 1.
О последовательности (1) { [an, bn] } говорят, что { [an, bn] } – последовательность стягивающихся отрезков.
Замечание 2.
Если в условии теоремы отрезки заменить на промежутки другого типа, то сходимость последовательностей концов промежутков будет иметь место.
Второе утверждение теоремы может оказаться ложным.
Пример.
{(0,
1); (0,
);
…; (0,
);
…} имеет пустое пересечение.
§9. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
Теорема.
Любая ограниченная числовая последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство.
Пусть
{xn}
– ограниченная последовательность
а1
b1
n:
a1
xn
b1
n:
xn
[a1,
b1].
Разделим
отрезок [a1,
b1]
пополам и выберем ту половину, которая
содержит бесконечно много элементов
последовательности {xn}.
Получим отрезок [a2,
b2]
[a1,
b1].
Делим отрезок [a2, b2] пополам и выбираем ту половину, которая содержит бесконечно много элементов последовательности {xn}. Получаем отрезок [a3, b3] и т.д.
Продолжая
этот процесс неограниченно, мы получим
последовательность вложенных отрезков
{ [an,
bn]
}
такую, что
k:
[ak+1,
bk+1]
[ak,
bk]
и
дл.[ak,
bk]=
=0.
Начнём теперь выбирать подпоследовательность последовательности {xn}.
В отрезке [a1, b1] возьмём xn1.
В отрезке [a2, b2] возьмём xn2 такое, что n2>n1
…
В отрезке [ak, bk] возьмём xnk, nk>nk-1
…
Продолжая
процесс выбора неограниченно, мы получим
последовательность {xnk}
- подпоследовательность последовательности
{xn}
такую, что
k:
ak
xnk
bk
По
теореме о вложенных отрезках
последовательности концов {ak}
и {bk}
сходятся и
ak=
bk=с.
Но
тогда по теореме 2 §4 (предельный переход
в неравенствах для трёх последовательностей)
xnk=с.