§9. Специальные пределы функций.

1. 

Функция f()= определена на Х=(, 0)(0, +), точка _о=0 является концом одновременно двух смежных промежутков из Х. так как рассматриваем , то достаточно рассмотреть этот предел для сужения нашей функции f(), то есть для функции , (, 0)(0, ).

Рассмотрим каждый интервал отдельно.

1. >0, tg >0.

u

y

Вычислим площадь треугольника А0В, сектора и △А0D.

А0В△А0D.

пл.А0В<пл.<пл. △А0D.

Из элементарной геометрии: ·1·<·1·<·1· tg

<< tg и т.к. >0, то 1<< <<1.

= =1

Тогда по теореме о предельном переходе в неравенствах для трёх функций =1

2. <<0 0<()< <<1.

Согласно чётности и нечётности : <<1.

=1 ==1 согласно теореме §5 получаем

=1.

2. 

Рассмотрим g(х)=; Х=(, 1)(0, +) стандарстная область определения функции g(х).

Докажем, что = =e.

Для этого сначала докажем, что >0 D>0 х (хХ, х>D): ││<.

А так как g(х)= , то ==e

1. Возьмём произвольное >0 и зафиксируем его. Ищем D>0.

=e >0, а значит и для нашего фиксированного >0 N₁ n> N₁: │e│<.

e<e=sup{} (*)

А так как =1 >0, >0, N₂ n>N₂: ││< 1< <1+ (**)

Положим N=max{N₁, N₂}, D=N+1>0.

Тогда х>D и =n получаем nх<n+1 n>NN₁ и n>NN₂

e<<<=e(1+)=e+

2. Докажем, что ││<

=e.

Используем определение (Г)₂.

Возьмём произвольную последовательность {x_n} типа Гейне (n: х_nХх_n=) и проверим, что g(х)=e.

Так как Х=(, 1)(0, +), то не ограничивая общности можно считать, что n: x_n<1<0, то есть x_n(, 1). Рассмотрим последовательность {x_n^’}, где n: x_n^’= x_n>1>0 x_n^’=+.

n: g(x_n)= =======g(x_n^’1)

В силу выбора последовательности {x_n}, последовательность {x_n1} обладает свойствами:

1. n: x_n^’=x_n1(0, +)Х

2. (x_n^’1)=+ (ибо х_n=)

А тогда по доказанному в п.1 g(х_n)=g(x_n^’1)=e.

А так как последовательность была выбрана произвольно, то g(х_n)_.

3. h(z)=, Z==(, 0)(0, +).

Докажем, что h(z)==e.

Для этого докажем, чтоh(z)=h(z)=e.

Замечание.

Справедливы следующие утверждения.

Докажите их самостоятельно.

Утверждение 1.

Если последовательность {y_n} такова, что y_n=+, то последовательность {}имеет смысл, и она бесконечно малая, то есть =0.

Утверждение 2.

Если последовательность{y_n} такова, что n: y_n>0 (n: y_n<0) и y_n=0, то {} бесконечно большая, то есть (соответственно, )

Вернёмся к функции h(z).

Надо доказать, что h(z)=e, h(z)=e.

Возьмём произвольную последовательность {z_n} такую, что n: z_n>0 и n: х_n= и z_n=0 х_n=+.

Рассмотрим последовательность соответствующих значений функции h(z): {h(z)}= {}={}={g(х_n)}.

Но, следовательно, h(z_n)=g(х_n)=e h(z)=e.

Аналогично доказывается, что h(z)=e.

А тогда из равенства h(z)=h(z)=e по теореме §5 следует, что =e.

Глава 4. Непрерывность функции.

§1. Определение непрерывной функции.

Примеры.

1. f(x)=x²+1,

X=(, +)

2. f(x) =

X=(, +

3. f(x)=x²+1,

X=(, 00, +)

4. f(x)=

X=(, +

5. f(x)=

X=(, +

Определение.

Говорят, что функция f(x) со стандартной областью определения X непрерывна в точке x_о, если

1. x_о X

2. f(x)

3. f(x)= f(x_о)

Расшифровка определения непрерывности функции в точке.

I (1). x_о X, (2) - (3) в смысле Гейне

{х_n} n: х_nХ

х_n= х_о : f(x_n) = f(x_о)

II (1). x_о X, (2) – (3) в смысле Коши

0 >0 х (хХ, │x - х_о│<): │f(х)- f(x_о)│<

III Зафиксируем точку x_о X и возьмём приращение (смещение) △x такое, чтобы x_о+△x X. Пусть x_о+h= x_о+△x=x h=△x=x- x_о = f(x_о+h)= f(x_о+△x)

1. x_о X, (2) – (3) означает, что

0 >0 h (x_о+hХ, <): │f(x_о+h) – f(x_о) │< f(x_о+△x)= f(x_о)

IV Зафиксируем x_о X и сместимся из точки x_о в точку x= x_о+ △x X, не покидая X.

Обозначим через △f=△f(x_о; △x)= f(x_о+△x) –f(x_о) – приращение функции, вызванное смещением △x из точки x_о.

1. x_о X, (2) – (3): △f (x_о; △x)=△f(x_о; h)=0.

Определение.

Функция f(x) называется непрерывной на множестве X, если она непрерывна в каждой точке X.

Определение.

Точка x_о называется точкой разрыва функции f(x), если

либо x_о X, но является концом одновременно двух смежных промежутков из X;

либо x_о X, но f(x);

либо x_о X, f(x), но f(x) f(x_о).

Определение.

Функция f(x) называется непрерывной, если она не имеет точек разрыва как принадлежащих X, так и не принадлежащих X.

Примеры.

1. f(x)=, X=(–, 0)(0, +).

f(x) непрерывна на X, но x_о=0 – точка разрыва функции f(x).

2. f(x)=, X=(0, +)

f(x) непрерывна на X и f(x) непрерывная функция.

1. Докажем сначала, что f(x) непрерывна на X.

Возьмём произвольное xX и дадим ему приращение △x такое, чтобы x_о+△xX △f(x; △x)=–== Но при △x0

△f(x; △x)=0 По расшифровке IV непрерывен в точке x непрерывен на (0, +)=X.

2. Но точек разрыва у нет, следовательно, f(x)= – непрерывная функция.