- •Глава I. Действительные числа.
- •§1. Введение.
- •§2. Множества.
- •§3. Понятие множества действительных чисел.
- •§4. Отображения множеств.
- •Глава 2. Числовые последовательности.
- •§1. Понятие числовой последовательности.
- •§2. Бесконечно малые последовательности.
- •§3. Свойства сходящихся последовательностей.
- •Глава 3. Некоторые сведения из математической логики.
- •§1. Предложение.
- •§2. Предикаты.
- •§3. Кванторы.
- •§4. Предельный переход в неравенствах. (Глава 2)
- •§5. Бесконечно большие последовательности.
- •§6. Частичные последовательности (подпоследовательности).
- •§7. Монотонные последовательности.
- •§8. Теорема о вложенных отрезках.
- •§9. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
- •§10. Критерий Коши сходимости числовой последовательности.
- •§11. Число .
- •Глава 3. Функции.
- •§1. Понятие числовой функции числового аргумента.
- •§2. Предел функции в точке.
- •§3. Арифметические свойства пределов функций.
- •§4. Предельный переход в неравенствах.
- •§5. Односторонние пределы функции в точке. (пределы слева и справа)
- •§6. Пределы функций на бесконечности.
- •§7. Функции, стремящиеся к бесконечности. (Бесконечно большие функции.)
- •§8. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций.
- •§9. Специальные пределы функций.
- •Глава 4. Непрерывность функции.
- •§1. Определение непрерывной функции.
- •§2. Классификация точек разрыва функции.
- •§3. Простейшие свойства непрерывных функций.
- •§4. Некоторые свойства непрерывных функций на промежутке.
- •§5. Условия непрерывности монотонной функции. Обратная функция. Непрерывность обратной функции.
- •Глава 5. Производная функции.
- •§1. Понятие производной функции.
- •§2. Свойства производной функции.
- •§3. Производная обратной функции.
- •§4. Таблица производных.
- •Глава 6. Дифференцируемая функция. Дифференциал.
- •§1. Понятие дифференцируемой функции в точке и дифференциала.
- •§2. Некоторые свойства дифференциала функции в точке.
§4. Предельный переход в неравенствах.
Теорема 1.
Пусть f(х) имеет стандартную область определения Х, точка хо лежит внутри или является концом одного из промежутков, образующих Х, и пусть f(х)= L.
Если число В (число А) и если окрестность (хо хо+) точки хо такая, что х{(хо, хо)}{( хо, хо+)}Х: f(х)В (соответственно, f(х)А), то и LВ (соответственно, LА).
Следствие.
Если хХ: Аf(х)В и L=f(х), то АLВ.
Теорема 2.
Пусть функции f(х), g(х), h(х) имеют стандартную область определения Х, хо лежит внутри или является концом одного из промежутков, образующих Х.
Если - окрестность (хо хо+) точки хо (>0) такая, что х{(хо, хо)}{( хо, хо+)}Х: f(х) h(х) g(х) и f(х)= g(х)=L, то h(х)=L.
Теорема 3.
Пусть f1(х) и f2(х) имеют стандартную область определения Х, хо лежит внутри или является концом одного из промежутков, образующих Х, и пусть L1=f1(х), L2=f2(х), и - окрестность точки хо (хо хо+) такая, чтох{(хо, хо)}{( хо, хо+)}Х: f1(х)f2(х), то L1 L2.
Теоремы 1, 2, 3 доказываются применением теорем главы 2 о предельном переходе в неравенствах для последовательностей значений заданных функций.
Докажем теорему 2.
f(х)=g(х)=L.
Возьмём произвольную последовательность {хn} типа Гейне n: хnХ, n: хn хо, хn= хо.
Так как хn= хо >0 о n>о: │хn - хо│< n>о: хn(хо хо+) и, следовательно, по условию f(хn) h(хn) g(хn).
А так как f(хn)=g(хn)=L h(хn)=L (по теореме о „жулике”).
Последовательность {хn} типа Гейне была выбрана произвольной, то по определению предела функции в точке в смысле Гейне h(х)=L.
§5. Односторонние пределы функции в точке. (пределы слева и справа)
Определение.
Пусть функция f(х) имеет стандартную область определения Х, точка хо лежит внутри или является правым (левым) концом одного из промежутков, образующих Х.
Говорят, что f(х) имеет в точке хо предел слева (справа) равный L и пишут f(х)=L (соответственно, f(х)=L), если
(Г)1 {хn} : (К)1 0 >0 х
(хХ, хn<хо (соотв. хn>хо), │x - хо│<):
f(хn)=L │f(х)- L│<
Так же, как и для обычных пределов (Г)1 и (К)1 эквивалентны.
Односторонние пределы обладают такими же простейшими арифметическими свойствами - свойствами, связанными с неравенствами, что и обычные пределы (во всех случаях в доказательстве надо заменит хn хо неравенствами хn< хо (хn>хо) или х< хо (соответственно х>хо)
Теорема.
Пусть f(х) имеет стандартную область определения Х и точка хо лежит внутри или является концом одновременно двух смежных промежутков из Х, и пусть в точке хо f(х) имеет равные односторонние пределы: f(х)=f(х)=L (1).
Тогда в точке хо f(х) имеет предел, и он равен L.
Доказательство.
Докажем, что f(х)=L.
Из (1) следует, что 0 1>0 х (хХ, х< хо, │x - хо│<1): │f(х)- L│< (2).
Из (1) следует, что 0 2>0 х (хХ, х>хо, │x - хо│<2): │f(х)- L│< (3).
Возьмём произвольное 0 и зафиксируем его.
Положим =min{1, 2}>0.
Тогда х (хХ, х хо, │x - хо│<): │f(х)- L│<, так как х хо, то либо х< хо и тогда справедливо (2), либо х>хо и тогда справедливо (3).