Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
matan1_san.docx
Скачиваний:
17
Добавлен:
09.11.2018
Размер:
547.4 Кб
Скачать

§4. Предельный переход в неравенствах.

Теорема 1.

Пусть f(х) имеет стандартную область определения Х, точка хо лежит внутри или является концом одного из промежутков, образующих Х, и пусть f(х)= L.

Если число В (число А) и если окрестность (хо хо+) точки хо такая, что х{(хо, хо)}{( хо, хо+)}Х: f(х)В (соответственно, f(х)А), то и LВ (соответственно, LА).

Следствие.

Если хХ: Аf(х)В и L=f(х), то АLВ.

Теорема 2.

Пусть функции f(х), g(х), h(х) имеют стандартную область определения Х, хо лежит внутри или является концом одного из промежутков, образующих Х.

Если - окрестность (хо хо+) точки хо (>0) такая, что х{(хо, хо)}{( хо, хо+)}Х: f(х) h(х) g(х) и f(х)= g(х)=L, то h(х)=L.

Теорема 3.

Пусть f1(х) и f2(х) имеют стандартную область определения Х, хо лежит внутри или является концом одного из промежутков, образующих Х, и пусть L1=f1(х), L2=f2(х), и - окрестность точки хоо хо+) такая, чтох{(хо, хо)}{( хо, хо+)}Х: f1(х)f2(х), то L1 L2.

Теоремы 1, 2, 3 доказываются применением теорем главы 2 о предельном переходе в неравенствах для последовательностей значений заданных функций.

Докажем теорему 2.

f(х)=g(х)=L.

Возьмём произвольную последовательность {хn} типа Гейне n: хnХ, n: хn хо, хn= хо.

Так как хn= хо >0 о n>о: │хn - хо│< n>о: хnо хо+) и, следовательно, по условию f(хn) h(хn) g(хn).

А так как f(хn)=g(хn)=L h(хn)=L (по теореме о „жулике”).

Последовательность {хn} типа Гейне была выбрана произвольной, то по определению предела функции в точке в смысле Гейне h(х)=L.

§5. Односторонние пределы функции в точке. (пределы слева и справа)

Определение.

Пусть функция f(х) имеет стандартную область определения Х, точка хо лежит внутри или является правым (левым) концом одного из промежутков, образующих Х.

Говорят, что f(х) имеет в точке хо предел слева (справа) равный L и пишут f(х)=L (соответственно, f(х)=L), если

(Г)1 n} : (К)1 0 >0 х

Х, хnо (соотв. хnо), │x - хо│<):

f(хn)=L │f(х)- L│<

Так же, как и для обычных пределов (Г)1 и (К)1 эквивалентны.

Односторонние пределы обладают такими же простейшими арифметическими свойствами - свойствами, связанными с неравенствами, что и обычные пределы (во всех случаях в доказательстве надо заменит хn хо неравенствами хn< хоnо) или х< хо (соответственно х>хо)

Теорема.

Пусть f(х) имеет стандартную область определения Х и точка хо лежит внутри или является концом одновременно двух смежных промежутков из Х, и пусть в точке хо f(х) имеет равные односторонние пределы: f(х)=f(х)=L (1).

Тогда в точке хо f(х) имеет предел, и он равен L.

Доказательство.

Докажем, что f(х)=L.

Из (1) следует, что 0 1>0 х (хХ, х< хо, │x - хо│<1): │f(х)- L│< (2).

Из (1) следует, что 0 2>0 х (хХ, х>хо, │x - хо│<2): │f(х)- L│< (3).

Возьмём произвольное 0 и зафиксируем его.

Положим =min{1, 2}>0.

Тогда х (хХ, х хо, │x - хо│<): │f(х)- L│<, так как х хо, то либо х< хо и тогда справедливо (2), либо х>хо и тогда справедливо (3).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]