Вопрос № 5

Опр : Прямая наз-ся вертикальной асимптотой графика ф-ии , если -б.б. в точке .

Опр: Прямая - наз-ся горизонтальной в асимптотой гр.ф-ии , если

Опр: Прямая наз-ся наклонной асимптотой графика ф-ии , если

Теорема :

Если - наклонная асимптота гр. ф-ии , то ;

Т.к. - наклонная асимптота , то

значит

Теорема :

Пусть

тогда прямая - наклонная асимптота гр.ф-ии

-наклонная асимптота

Вопрос № 1

Опр: Ф-ия f(x) наз-ся возрастающей в точке , если в данной точке, т.е. увеличению аргумента соответствует увеличение значения ф-ии , а уменьшению аргумента уменьшение значения ф-ии .

Опр: Ф-ия f(x) наз-ся возрастающей в точке , если в данной точке , т.е. увеличению аргумента соответствует уменьшение значения ф-ии , а уменьшению аргумента соответствует увеличение значения ф-ии .

(дорисовать ф-ии )

Опр : Говорят , что ф-ия f(x) возрастает ( убывает) на , если она возрастает (убывает) в каждой точке .

Опр: Говорят, что ф-ия f(x) монотонна на ,если она возрастает на , или убывает на

Теорема (Достаточное условие монотонности )

Пусть дана ф-ия , причем

1) Если для , то - возрастает

2)Если для , то - убывает

Докажем 1

Возьмем , т.ч.

Без потери общности считается , что < .

По теореме Лагранжа :

Т.к. и > 0 для > в-ет на

Вторая теорема о среднем

Теорема

Пусть задана ф-ия т.ч.

По теореме о промеж.значениях ф-ии неприрыв.на отрезке т.ч.

Вопрос 3

Опр : Ф-ия наз-ся выпуклой вниз в точке , если для

Опр: Ф-ия наз-ся выпуклой вверх в точке , если

для

Опр : Говорят , что ф-ия выпуклая вверх(вниз) на , если она выпукла вверх(вниз) в каждой точке

Теорема(достаточное условие выпуклости) :

Пусть дана ф-ия причем

1) Если для , то -выпуклая вниз на

2)Если для , то -выпуклая вверх на

Д-ем пункт 1

Воспользуемся формулой Тейлора :

Пусть .

для

Следовательно

для - выпуклая вниз в точке .

-выпуклая вниз на

Длина дуги кривой , заданной графиком функции (31)

Опр : Пусть даны тогда соответствующий кривой наз-ся мн-во точек вида :

При этом -параметризация данной кривой

*рисунок*

Теорема

Пусть . Р-м кривую с параметризацией тогда

Без док-ва

Кривые, заданные в полярных координатах

*рисунок*

Теорема :

Если то

по доказанной теореме :

Доказательства формулы для вычисления площади (29)

Опр: Пусть ф-ия определена на причем для тогда в соответ. криволенийной трапеции наз-ся :

*рисунок*

Параллельно переносим фигуру Ф на А единиц вверх:

*рисунок*

Достаточные условия дифференцируемости функции (48)

Теорема

Пусть у ф-ии в некоторой окр-ти точки , причем

Теорема

Пусть

, тогда сложная ф-ия причем

Достаточные условия интегрирования (19)

Теорема

без док-ва

Евклидов n-мерное пространство (40)

Опр:

Опр: Пусть то расстояние от до наз-ся

Опр: Открытым шагом с центром в точке и радиуса наз-ся

*рисунок*

Опр: Множество наз-ся открытым, если для

Опр: Точка наз-ся предельной точкой мн-ва если для

Опр: Мн-во наз-ся замкнутой, если оно содержит все свои прдельные точки

Опр: Точка наз-ся граничной точкой мн-ва , если для содержит как принадлеж. D точку, так и на принадлеж.

Опр: Гранцей мн-ва наз-ся мн-во всех его гранитных точек

Опр: Замыканием мн-ва наз-ся

Опр: Мн-во наз-ся связным , если для непрерывная кривая , т.к. 1)

2)

Опр: Мн-во наз-ся областью, если оно открыто и связано

Интеграл с переменным верхним пределом (24)

Пусть тогда след-но определена ф-ия - называется интегралом с переменным верхнем пределом.

Теорема :

т.к. .

Вопрос № 15

Интегралы от ф-ии вида ,где -рац.ф-ия

Замена:

получается интеграл от рац.дроби

Пример:

= =

= =

= обратная замена

Вопрос № 16

Дифференциальный бином - это выражение вида

1случай

, тогда замена , где -общей знаменатель . Тогда замена сведет вычисление интеграла к интегралу от рац.чисел

2 случай

, тогда замена где -знаменатель .Тогда замена интегралу от рац.чисел

3 случай

, тогда замена : , где -знаменатель .

Замечание

В остальных случаях интегралы в элементарных функциях на берется (теорема Чебылева)

Критерий сходимости несобственного интеграла (36)

Теорема :

Пусть

Рассмотрим первообразную

для

Предположим, что -сх-ся, т.к.

более того