Вопрос 6

Схема постраяние графика ф-ии

1) Область определения ф-ии

2)Особенности ф-ии (четность,нечетность,периодичность)

3)Точки пересечения графика ф-ии с осями координат,расположения графика в четвертях

4)Неприрывность ф-ии и определить хар-ер точки разрыва

5)Асимптоты

6)Промежуточные монотонности ф-ий

7)Промежутки выпуклости . Точки перегиба

Построим график ф-ии

1)

2) Не явл.четной , не явл.нечетной. Не явл.период. Ф-ия общего вида

3) С осью

С осью решим уравнение

4) точек разрыва нет

5) Верт.асимптоты нет

на горизонтальная асимптота

на наклонная асимптота

6) нет критических точек

7) =

*график*

Вопрос № 3

Опр : Ф-ия наз-ся выпуклой вниз в точке ,

если для

Опр : Ф-ия наз-ся выпуклой вверх в точке ,

если для

(для )

*дорисовать ф-ию*

Опр : Говорят , что ф-ия выпуклая вверх(вниз) на ,

если она выпуклая вверх(вниз) в каждой точке

Теорема (Достаточное условие выпуклости)

Пусть дана ф-ия причем

1) Если для , то -выпуклая вниз на

2) Если для , то - выпуклая вниз на

Д-ем пункт 1

Воспользуемся формулой Тейлора:

Пусть .

для

След-но

для - выпукл.вниз в точке

-выпуклая вниз на

Объемы тела вращения (33)

*рисунок*

*рисунок*

интегральная сумма ф-ии соответствует разбиению и набору отмеченных точек

Опр: Если - объем первнач.тела

Теорема :

Если то

Р-м важный частный случай - поверхности вращения

*рисунок*

Теорема :

Пример:

*рисунок*

Вопрос 22

Аддитивность : если

Если , то добавим её получим разбиение , при этом

*график*

Переходя к пределу мы получим требуемое утверждение.

Площадь поверхности тела вращения (34),

Пример:

*рисунок*

Пример:

*рисунок*

*рисунок*

Вопрос 18

Опр : Пусть на определенна ф-ия если (т.е. для т.ч. для разбиения т.ч. вып-но ), тогда говорят , что ф-ия - интегрируема по Риману на ,пишут, что

Теорема (необходимые условия интегрируемости)

Если ф-ия -ограничена на

Д-ем от противного

Возьмем т.ч. для т.ч. вып-но

-ограничена для , т.ч.

-неограниченна на т.ч.

Выбираем можно сделать инт.сумму неогр.большой или неогран.маленькой

*График*

Это противоречит тому , что

Вопрос № 8

Неопределенный интеграл

Опр: Пусть дана , пусть удовлетворяет

1)

2) для

тогда называется первообразной на

2) функция первообразная ф-ии

Теорема (О структуре мн-ва первообразных)

Пусть дана ф-ия , пусть - некоторая первообразная на , тогда мн-во всех первообразных на имеет следующий вид : где

1) Докажем , что ф-ия вида явл.первообразной первообразная

2)Докажем , что первообразная имеет вид .

Пусть - еще одна первообразная . Предположим противное : , тогда т.ч. .Применим теорему Лагранжа для ф-ии на . т.ч.

Это противоречит тому , что для

Понятие несобственного интеграла (35)

Опр: Пусть причем -неограниченна на для . Тогда

называется несобственным интегралом, причем, если предел существует и конеен , то говорят, что интеграл сх-ся в противном случае говорят, что интеграл рассходится.

*рисунок*

Свойства несобственного интегралов

1) Пусть -сх-ся несобственного интеграла, тогда

-сх-ся и -сх-ся, причем

;

2) Пусть -сх-ся несобств.интеграл.

Пусть первообразная , тогда

3) Пусть -несобственный,

Пусть , тогда и либо одновременно сходятся, либо одновременно рассходятся.

*рисунок*

Понятие частной производной функции (47)

Опр: Пусть дана тогда её частный производной по переменной в точке наз-ся

Опр: Ф-ия наз-ся дифференциал в точке , если

Теорема(Необходимые условия дифференцир)

Ф-ия диффер.

Вопрос №7

-зависимость одной величины от другой

- хар-ка зависимости от

-спрос на бензин ( -цена )

-спрос на гречку ( -цена )

литр/руб. галлон/руб.

кг/руб. центнер/руб.

Опр : Пусть дана ф-ия , тогда эластичностью данной ф-ии наз-ся

Свойства:

1)

2)

3)

4)

5)

1)

2)

3)

4)

5)

_{Геометрический смысл производной.}

_{*графики*}

_{Замечание : Модуль элот.совподает с отношением длины отрезка косат. от точки косания до точки пересеч. с осью . Если точки А и В лежат по одну сторону от точки С на косат. то отношение беретел со знаком + , а если по разные стороны то со знаком -}

Последовательности в (41)

Пусть

Опр: Мн-во

Опр : Точка наз-ся пределом послед-ти (обознач. ), если для вып-но : . При этом послед-ть назыв. сходящийся

Теорема:

(необходимость)

(достаточность)

для

Предел и непрерывность в точке (44)

Опр(Коши):Придел ф-ии в точке сущ.и равен (обозн. если для т.ч. удовлет. вып-но:

Опр(По гейне) // если для

1)

2)

Справедливо :

Опр: Ф-ия называется непрерывной в точке если

Опр: Ф-ия наз-ся неприрывной на мн-ве если она непрерывна в точке на мн-ве Е

Теорема:

Ф-ия непрерывна на компакте , ограниченная на нем

Предположим противное : - не ограниченна на компакте D. След-но т.ч.

т.к.

По теореме Больцама-Вейнштрасса : подпоследовательность которая сх-ся

Пусть тогда (т.к. -замкнутое мн-во)

Следовательно, . Это противоречит тому, что

Производная функции по направлению (51)

Опр: Пусть , тогда её диффер.

Опр: Градиентом ф-ии наз-ся

Опр: Производ. ф-ии по направлению вектора наз-ся

Р-м ф-ию

Пусть фикс.точка ;

*рисунок*

Уравнение касательной плоскости :

Уравнение нормальной прямой :

Таблица (11)

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17) "длинный" логарифм

18) "высокий" логарифм

19)