1. Арифметические действия с комплексными числами. Тригонометрическая формула комплексного числа. Извлечение корня из комплексного числа.

Комплексным числом – называется упорядоченная пара действительных чисел Z=(x, y), x,y  R (x=Rez – действительная часть, y=Imz – мнимая часть), которые удовлетворяют аксиомам:

а) отождествление (x, 0) =x  R

б) равенство к. ч.: для любых z₁=(x₁,y₁), z₂=(x₂,y₂) z₁=z₂  x₁=x₂ и y₂ = y₁

в) над комплексными числами определены операции: сложение и умножение.

1. Сложение: Z₁+Z₂ = (x₁+x₂, y₁+y₂)

а) Z₁+Z₂ = Z₂+Z₁

Доказательство: Z₁+Z₂=(x₁+x₂, y₁+y₂) = (x₂+x₁, y₂+y₁) = Z₂+ Z₁

( по свойству перестановочности сложения действительных чисел)

б) z₁+z₂+z₃=z₁+(z₂+z₃)

в) существует ед. комплексное число O, O  C, такое, что Z+O=Z. O= (0, 0).

2. Умножение: Z₁*Z₂=(x₁*x₂-y₁*y₂, y₁*x₂+x₁*y₂)

a) Z₁*Z₂=Z₂*Z₁

б) (Z₁*Z₂)*Z₃=Z₁*(Z₂*Z₃)

в) существует ед. комплексное число e, e  C, такое, что Z*e=Z; e=(1,0)

г) если z1<>(0,) то существует обратное число z₂, такое что Z₁*Z₂=1.

Z₂=Z₁^-1= [x/(x²+y²), -y/(x²+y²)]

е) z₁*(z₂+z₃)=z₁*z₂+z₁*z₃

ж) С*Z=(C*x, C*y)

3. Вычитание: Разностью комплексных чисел Z₁ = (x₁,y₁) и Z₂ = (x₂,y₂) называется комплексное число Z=Z₁-Z₂, такое, что Z+Z₂=Z₁. Утверждение: Z₁-Z₂= (x₁-x₂, y₁-y₂)

Доказательство: z = z₁-z₂=(x, y)

Z+z₂=(x, y) +(x₂, y₂) = z₁ =(x₁, y₁)

{ x+x₂=x₁  { x=x₁-x₂

{ y+y₂=y₁ { y=y₁-y₂

4. Деление: Пусть z₂  0. Частное от деления z₁/z₂ называется число Z, такое, что Z*z₂=z₁

Формула Муавра.

!!! Zⁿ= rⁿ( (cos ( * n) +i*sin(*n))

Тригонометрическая форма к.ч.:

z1=x+i*y= (x²+y²)^1/2 *(x / (x²+y²)^1/2 + i*y/ (x²+y²)^1/2) = r*( COS() + i*SIN())

Экспонентальная форма: Z= r*e^(i*), e^(i*)=COS()+i*SIN()

Извлечение корня из к.ч.:

Корень n степени из Z = |Z|^1/n *{COS (+2*k)/n + i*SIN (+2*k)/n}, где k=0,1,.., n-1.

2. Понятие точной верней (нижней) грани ограниченного сверху (снизу) множества чисел. Теорема об их существовании.

Число М (соответственно m) называется точной верхней (нижней) гранью множества чисел A, если выполняются следующие свойства:

1) x <= M (соответственно x >= m) для всех x  A;

2) Как бы ни было мало , найдется такое число Xo, что M-Xo (Xo<M-

M=SupA=Supx, x  A ; m = InfA=Infx, x  A;

Теорема: Если множество X0 ограничено сверху (снизу), то ! точная верхняя грань (нижняя грань этого множества). Без доказательства.

3. Предел числовой последовательности. Теоремы о единственности предела и ограниченности сходящейся последовательности.

Опр. 1. Число а называется пределом последовательности {Xn}, если для любого положительного числа  найдется (зависящее от него) натуральное число N такое, что для всех натуральных n>N выполняется равенство:

| Xn - a | <  (n > N)

Теорема 1. Если {Xn} – сходящаяся последовательность, то ее предел единственный.

Доказательство: пусть это не так…

Xn –> a : {Xn – a} - Б.М.П. Xn – a = n

Xn –> b : {Xn – b} - Б.М.П. Xn – b = n

(ab)

 b-a = n - n - б.м.п.

b–a = const – б.м.п.

 ( по Т.7 параграфа 1) b-a=0  b=a #

Теорема 2. Если {Xn} – сходящаяся последовательность, то она ограничена.

Доказательство:

а – предел {Xn}

Фиксируем некоторое положительное число  и по нему номер N такой, что |Xn – a| < при всех n>=N или, что то же самое, a- Xn<a+Обозначим через А наибольшее из следующих (N-1) чисел: |a-|a+, |X1|, |X2|,…, |XN-1|. Тогда очевидно, |Xn| <= A для всех номеров n, а это и доказывает ограниченность последовательности {Xn}

#