11. Теорема о пределе ограниченной и монотонной последовательности.

Теорема: Если последовательность {Xn}  R монотонная и ограниченная, то она имеет конечный предел в R .

Доказательство: Пусть, например, {Xn} – неубывающая последовательность и

n: Xn < M. Тогда по теореме о существовании точной верней грани о ограниченного сверху множества в R существует точная верхняя грань S=supx_n.

Докажем, что limx_n = S.

x_n <= S (1)

По определению точной верхней грани:

S - x_N

{Xn} – неубывает => x_n >= x_N при n>= N

 S - x_n при n >= N (2)

(1) + (2)  S - x_n <= S  [0 <= S - x_n <  и | S - x_n | <   X_n –> S.

Аналогично для невозрастающей и ограниченной снизу последовательности. #

12. Число e как предел последовательности.

Теорема: Последовательность рациональных чисел

{(1+1/n)ⁿ} при n[1;oo), сходится в R к некоторому числу e.

Доказательство: Применяя формулу бинома Ньютона, представим общий член последовательности в виде суммы n+1 положительных слагаемых:

x_n = (1+1/n)ⁿ = 1+1+n(n-1)/2!*1/n² + n(n-1)(n-2)/3!*1/n³ + … + 1/nⁿ =

= 1 + 1 + (1-1/n)*1/2! + (1-1/n)(1-2/n)*1/3! + ... + (1-1/n)…(1-(n-1)/n)*1/n! (1)

x_n+1=[1 + 1/(n+1)]ⁿ⁺¹=1 + 1 + [1-1/(n+1)]*1/2! + [1-1/(n + 1)][1 - 2/(n+1)]*1/3! + ... + + [1-1/(n+1)]…[1- (n-1)/(n+1)]*1/n! + [1- 1/(n+1)]…[1- n/(n+1)]*1/(n+1)! (2)

Сравнивая первые n+1 соответствующих слагаемых в (1) и (2) и принимая во внимание, что все остальные слагаемые положительны, видим, что x_n < x_n+1, т.е. последовательность возрастающая.

Заметим, что если все скобки в (1) заменить на 1, то указанная правая часть возрастает. Поэтому:

x_n < 2 + 1/2! + 1/3! + … +1/n! < 1 + 1/2² + 1/2³ + … 1/2^n-1 < 2 + 1 = 3. Таким образом, последовательность ограничена сверху числом 3. По теореме о пределе монотонной и ограниченной последовательности, последовательность {x_n} имеет предел, который не превышает 3. Этот предел – определенное число, которое называют e. #

13. Подпоследовательности. Теорема Больциано – Вейерштрасса.

Пусть {x_n}— некоторая последовательность и {n_k}— возрастающая последовательность натуральных чисел n_k  N. Тогда последовательность {x_nk} при k[1, OO), составленная из элементов x_nk последовательности {x_n} с номерами n_k, называется подпоследовательностью последовательности {x_n}.

Теорема Больцано – Вейерштрасса. Из всякой ограниченной последовательности, можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Можно указать отрезок [a₁, b₁], на котором расположены все элементы x_n, например a₁ = inf{x_n} и b₁ = sup{x_n}. Существует, следовательно, элемент x_n1  [a₁, b₁]. Разделив [a₁, b₁] точкой [a₁, b₁]/2 пополам, получаем, что хотя бы на одной половине содержится бесконечно много элементов {x_n}. Выберем в качестве отрезка [a₂, b₂] именно такую половину, и пусть x_n2 – элемент, принадлежащий [a₂, b₂] и отличный от x_n1.

Продолжая неограниченно этот процесс деления отрезков пополам, получаем последовательность вложенных отрезков {[a_k, b_k]},

длины которых d_k = b_k - a_k = (b₁ – a₁) / 2^k-1 стремиться к нулю, и подпоследовательность {x_nk} такую, что a_k < x_nk < b_k.

Последовательность левых концов {a_k} (соответственно {b_k}) неубывающая (невозрастающая) и ограниченна. Следовательно, по теореме о монотонной и ограниченной последовательности a_k  a и b_k  b.

Но a=b, т.к. 0 <= b – a <= d_k  0. Следовательно, для промежуточной последовательности {x_nk} имеем также lim x_nk = a при k  OO, что и доказывает теорему. #