Глава I. Действительные числа.

§1. Введение.

Математический анализ – это классическая часть современной геометрии. Развитие именно современной геометрии началось с публикации Н.И.Лобачевского¹ работы «О началах геометрии» 1829, в которой была решена проблема V постулата Евклида о параллельных. Н.И.Лобачевский доказал, что V постулат Евклида не вытекает из остальных постулатов и поэтому возможна другая геометрия. Он назвал её воображаемой, а мы сейчас называем её неевклидовой или геометрией Лобачевского. Первое сообщение было сделано 23.02.1826 г. В Казанском Университете.

Открытие Лобачевского:

1. Лишило всякого смысла мысль о врождённости геометрических (понятий) объектов;

2. Заставило глубже вникнуть в смысл геометрических понятий;

3. Чрезвычайно важным оказалось осознание того факта, что логическая структура геометрии не определяет природы геометрических объектов.

Это означает, что в качестве „точек”, „прямых”, „плоскостей” в разных случаях можно подразумевать разные предметы (объекты).

Каждый конкретный выбор этих объектов даёт конкретную „модель” геометрии.

§2. Множества.

С конца 19 века наиболее универсальным языком математики стал язык теории множеств. Основателем теорий множеств является немецкий математик Георг Кантор². Кантор говорил: „… под множеством мы понимаем объединение в одно целое определённых объектов, вполне различных, нашей интуиции или нашей мысли”. На рубеже 19-го и 20-го веков на Конгрессе математиков в 1900 году отмечалось, какую огромную пользу принёс теоретико-множественный язык для развития математики.

А в 1902 году Б. Рассел³ обнаружил парадокс, оказавшийся классическим парадоксом, схожим с парадоксом Зенона (например, о брадобрее). Оказалось, что высказывание – “множество всех множеств” – противоречиво.

Если в теории, где-то противоречие, то как же пользоваться её результатами? Опасно! Значит, наивное представление о множестве не так уже просто и безобидно. Высказывание Кантора трудно принять за определение. Поэтому логики подвергают понятие множества тщательному анализу, в который мы углубляться не будем.

Заметим, что в существующих аксиоматических теориях множество определяется как математический объект, обладающий определённым набором свойств. Описание этих свойств составляет аксиоматику. Любая из существующих аксиоматик такова, что она с одной стороны избавляет от известных противоречий наивной теории множеств, а с другой стороны – обеспечивает свободу оперирования с конкретными множествами, возникающими в различных отделах математики и в первую очередь в математическом анализе (в широком смысле слова – как современной геометрии).

X – множество; xX – x элемент множества X.

Определение.

Множество, не содержащее элементов, называется пустым множеством и обозначается .

Определение.

Множество А называется конечным, если оно состоит из конечного числа элементов.

Определение.

Пусть даны два множества А и В. А, В и пусть каждый элемент xА является элементом множества В, т.е. xВ. Тогда А называется подмножеством множества В, обозначается АВ.

Замечание.

Для любого множества А, А≠, следует АА (из определения).

Определение.

Пусть X – произвольное множество. X и называются несобственными подмножествами множества X.

Определение.

Пусть X – непустое множество и АX, А и пусть существует xX такой, что xА. Тогда А называется собственным подмножеством множества X.

Простейшие операции над множествами.

Пусть X – произвольное непустое множество и АX.

Определение.

Разностью между множествами А и В называется множество, обозначаемое АВ либо пустое, либо состоящее из тех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В.

Определение.

Пусть АX. Дополнением множества А в X называется XА. оно обозначается С_хА=СА= XА.

Пусть задана совокупность множества А_α, где {α}=y – совокупность индексов.

Определение.

Объединением А_α множеств А_α, αy называется множество, каждый элемент которого (если он существует) принадлежит хотя бы одному А_α, т.е. либо А_α =, либо условие x А_α равносильно условию – существует αy такое, что xА_α.

Определение.

Пересечением множеств А_α, αy, называется множество, каждый элемент которого (если он существует) принадлежит каждому множеству А_α, αy. Обозначается пересечение множеств А_α, αy через .

Задача.

Доказать, что если X – непустое множество и для всех αy А_αX, то

1. X)= (1) С_х )=

2. X()= (2) С_х()=