§4. Отображения множеств.

Определение.

Пусть X и Y два непустых множества. Говорят, что задано отображение f множества X „в” множество Y, если указан закон, согласно которому элементу x поставлен в соответствие элемент y.

Обозначение f: X Y; X Y.

Если y=f(x), x, y, то y называется образом x при отображении f, а x при этом называется прообразом y при отображении f.

Множество Y_f = {y; y=f(x), x}Y называется образом множества X при отображении f.

Определение.

Говорят, что два непустых множества X и Y равны, если каждый элемент x принадлежит Y (XY) и каждый элемент y принадлежит X (YX), то есть

X=Y XY и YX.

Определение.

Говорят, что задано отображение f множества X „на” множество Y, если Y_f =Y.

Определение.

Отображение f: X Y называется взаимно-однозначным, если разным x из X ставятся в соответствие разные y из Y.

Определение.

Говорят, что два непустых множества X и Y являются равномощными, если между ними можно установить взаимно-однозначное отображение.

Определение.

Множество, равномощное множеству натуральных чисел называется счётным.

Определение.

Бесконечное множество, не являющееся счетным, называется несчётным.

Утверждение 1. (Доказать самостоятельно).

Любое бесконечное множество содержит счётное подмножество.

Утверждение 2. (Доказать самостоятельно).

Любое бесконечное подмножество счётного множества счётно.

Теорема 1.

Множество всех рациональных чисел счётно.

Доказательство.

Рассмотрим множество всех рациональных чисел и расположим их следующим образом:

0 1 -1 2 -2 3 -3 …

- - - …

- - -

… … …

Отметим место каждого числа.

Теорема 2. (Кантора). (Без доказательства).

Множество действительных чисел несчётно.

Задача.

Где больше чисел?

§Точные грани (верхняя и нижняя) числовых множеств.

Примеры.

X=={1, 2, …, n, n+1, …}

X ={x; }

X= (-, +)

X={r; r – рационально: r²<2}

Определение.

Числовое множество X называется ограниченным сверху (снизу), если существует такое число В (соответственно А), что для любого x: xВ (соответственно Аx).

Определение.

Числовое множество X называется ограниченным, если оно ограниченно и сверху и снизу.

Определение.

Пусть X – ограниченное сверху числовое множество. Точной верхней гранью множества X называется наименьшее из всех чисел, ограничивающих множество X сверху, и оно обозначается supX= sup{x}.

Определение.

Пусть X – ограниченное снизу числовое множество. Точной нижней гранью множества X называется наибольшее из всех чисел, ограничивающих множество X снизу. Оно обозначается infX=inf{x}.

Дадим рабочую форму этих понятий.

Определение.

Пусть X – ограниченное сверху числовое множество. Число M= supX называется точной верхней гранью множества X, если:

1. для любого x: xM.

2. для каждого >0 существует такой, что M-<.

Определение.

Пусть X – ограниченное снизу числовое множество. Число m= infX называется точной нижней гранью множества X, если:

1. для любого x: mx.

2. для каждого >0 существует такой, что <m+.

Иногда случается, что числовое множество X имеет наибольший (наименьший) элемент, т.е. существует (соответственно ) такой, что для любого x: x (соответственно x.

Утверждение.

Пусть - наибольший элемент множества X. Тогда .

Доказательство.

Воспользуемся рабочей формулой определения точной верхней грани множества X.

Проверим выполнение двух условий.

1. По определению наибольшего элемента для любого x: x.

2. Возьмём произвольное >0, фиксируем его.

Тогда , а .

Утверждение для наименьшего элемента докажите самостоятельно.

Теорема 1. (О существовании точной верхней грани у ограниченного сверху числового множества)

Любое непустое ограниченное сверху числовое множество имеет точную верхнюю грань.

Доказательство.

Пусть X, X и существует В такое, что для любого x: xВ.

Рассмотрим множество E всех чисел, ограничивающих множество X сверху.

E, так как ВE. Следовательно, мы имеем два множества X и E, обладающих свойством:

X, E и для каждого x и для каждого ВE xВ.

А тогда согласно аксиоме V (полноты и непрерывности) множества действительных чисел существует В_о такое, что для любого x и для любого ВE

x В_оВ.

Из левой части неравенства x В_о следует, что для любого x: x В_о В_о ограничивает множество X сверху В_оE.

Из правой части неравенства следует, что для любого ВE: В_оВ, а так как В_оE, то В_о – наименьшее из чисел, ограничивающих множество X сверху

В_о= supX.

Доказательство, приведённое выше, принадлежит М.А.Крейнесу.

Теорема 2. (О существовании точной нижней грани у ограниченного снизу числового множества).

Любое непустое ограниченное снизу числовое множество имеет точную нижнюю грань.

Доказательство.

Пусть , и – ограниченно снизу, то есть существует А такое, что для любого x: Аx.

Рассмотрим множество X={-x; x}. Тогда для любого -x: - x-А, то есть множество X ограничено сверху и согласно теореме 1 существует В_о= supX для любого x: x В_о -x- В_о - В_о=inf