- •Глава I. Действительные числа.
- •§1. Введение.
- •§2. Множества.
- •§3. Понятие множества действительных чисел.
- •§4. Отображения множеств.
- •Глава 2. Числовые последовательности.
- •§1. Понятие числовой последовательности.
- •§2. Бесконечно малые последовательности.
- •§3. Свойства сходящихся последовательностей.
- •Глава 3. Некоторые сведения из математической логики.
- •§1. Предложение.
- •§2. Предикаты.
- •§3. Кванторы.
- •§4. Предельный переход в неравенствах. (Глава 2)
- •§5. Бесконечно большие последовательности.
- •§6. Частичные последовательности (подпоследовательности).
- •§7. Монотонные последовательности.
- •§8. Теорема о вложенных отрезках.
- •§9. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
- •§10. Критерий Коши сходимости числовой последовательности.
- •§11. Число .
- •Глава 3. Функции.
- •§1. Понятие числовой функции числового аргумента.
- •§2. Предел функции в точке.
- •§3. Арифметические свойства пределов функций.
- •§4. Предельный переход в неравенствах.
- •§5. Односторонние пределы функции в точке. (пределы слева и справа)
- •§6. Пределы функций на бесконечности.
- •§7. Функции, стремящиеся к бесконечности. (Бесконечно большие функции.)
- •§8. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций.
- •§9. Специальные пределы функций.
- •Глава 4. Непрерывность функции.
- •§1. Определение непрерывной функции.
- •§2. Классификация точек разрыва функции.
- •§3. Простейшие свойства непрерывных функций.
- •§4. Некоторые свойства непрерывных функций на промежутке.
- •§5. Условия непрерывности монотонной функции. Обратная функция. Непрерывность обратной функции.
- •Глава 5. Производная функции.
- •§1. Понятие производной функции.
- •§2. Свойства производной функции.
- •§3. Производная обратной функции.
- •§4. Таблица производных.
- •Глава 6. Дифференцируемая функция. Дифференциал.
- •§1. Понятие дифференцируемой функции в точке и дифференциала.
- •§2. Некоторые свойства дифференциала функции в точке.
§6. Пределы функций на бесконечности.
Примеры.
-
y= f(х)=arctg(x), Х=(, +).
При х y, при х+ y.
-
y= f(х)= , Х=(, +). y0 при х.
О таких функциях в этом параграфе и пойдёт разговор.
Определение.
Пусть f(х) имеет стандартную область определения Х, и пусть множество Х неограниченно сверху (Х неограниченно снизу).
Говорят, что число L является пределом функции f(х) при х+ (соответственно, при х) и пишут f(х)=L (соответственно, f(х)=L), если
(Г)2 (К)2
{хn} : 0 D>0 х (хХ, х>D):
│f(х)- L│<
f(хn)=L (соотв. х<D): │f(х)- L│<
Определения (Г)2 и (К)2 эквивалентны.
(Г)2 и (К)2 обладают всеми свойствами пределов функций, арифметическими и другими.
Замечание.
Неограниченная сверху область определения Х функции f(х) может содержать промежуток [a, +) или (a, +), но необязательно, а неограниченная снизу область определения Х функции f(х) - промежутки (, b] или (b), и тоже необязательно.
Например.
-
f(х)=, Х=(, 0)(0, +).
-
f(х)=, Х=, (n+1))
§7. Функции, стремящиеся к бесконечности. (Бесконечно большие функции.)
-
f(х)=, Х=(, 0)(0, +). При х0 f(х) +
-
f(х)=х3, Х=(, +). При х f(х), при х+ f(х)+.
Определение.
Пусть f(х) имеет стандартную область определения Х, точка хо лежит внутри или является концом одного из промежутков, образующих Х.
Говорят, что f(х) стремится к + (к ) при х хо и пишут f(х)= + (соответственно, f(х)=), если
(Г)3 (К)3
{хn} Е>0 >0 х (хХ, х хо, │x - хо│<):
f(х)>Е (соотв. f(х)<Е)
f(хn)= +
(соотв. f(хn)=)
Определения (Г)3 и (К)3 эквивалентны. (Г)3 и (К)3 обладают всеми свойствами пределов функций.
Аналогично определяются:
f(х)= + f(х)= +
f(х)= f(х)=
Замечание.
Иногда рассматривают функцию f(х), стремящуюся к при х+, при х, и стремящуюся к + и к на бесконечности.
Например.
Пусть f(х) имеет стандартную область определения Х, Х –неограниченно снизу, тогда f(х)= + определяется так:
(Г)4 (К)4
{хn} : Е>0 D>0 х (хХ, х<D):
f(хn)= + f(х)>Е
Е>0 n>N: f(хn)>Е
§8. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций.
-
Определение.
Пусть (х) имеет стандартную область определения Х и точка хо лежит внутри или является концом одного из промежутков, образующих Х.
Функция (х) называется бесконечно малой при х хо, если (х)=0.
Определение.
Пусть (х) и (х) имеют общую стандартную область определения Х, и обе являются бесконечно малыми при х хо.
Говорят, что б.м. (х) и (х) при х хо имеют один и тот же порядок малости и пишут (х)=xxo[(х)], если =L0.
Замечание.
Мы в данном случае предполагаем, что отношение определено на Х(хо-h, хо+h), h>0, то есть (х)0 несмотря на то, что (х)=0.
Определение.
Говорят, что две б.м. (х) и (х) при х хо эквивалентны, если =1.
Определение.
Говорят, что б.м. (х) при х хо имеет более высокий порядок малости относительно б.м. (х) при х хо, если =0 и пишут (х)=ххо[(х)].
Определение.
Говорят, что б.м. (х) при х хо имеет порядок малости равный р относительно б.м.(х) при х хо, если =L0 и пишут (х)=xxo[р(х)].
Определение.
Если не существует , и функция при х хо, то говорят, что б.м. (х) и (х) при х хо несоизмеримы.
Примеры.
-
(х)=х и (х)=│x│ при х0 несоизмеримы.
-
(х) и │(х)│ - б.м., при х хо несоизмеримы.
-
f(х)=х и g(х)=х· - б.м. при х0 g(х)=x0[] р= – порядок малости при х0 относительно х.
-
Бесконечно большие –б.б.
Пусть (х) и (х) – бесконечно большие функции при х хо.
Определение.
Говорят, что б.б. (х) и (х) имеют один и тот же порядок роста при х хо и пишут (х)=xxo[(х)], если =L0.
Определение.
Говорят, что б.б. (х) имеет порядок роста равный р относительно (х) при х хо, если =L0 и пишут (х)=xxo[р(х)].
Определение.
Говорят, что б.б. (х) более высокого порядка роста относительно б.б. (х) при х хо, если =.