Глава 3. Некоторые сведения из математической логики.

§1. Предложение.

1. Волга впадает в Балтийское море.

2. 117<121

3. x отец y

4. =i<3

5. z исполнилось 17 лет

6. - рациональное число

7. красного цвета

Определение.

Предложением называется высказывание, которое может быть истинным или ложным.

(1), (2), (3), (5), (6) – предложения. (часть из них истинны – (2), (3), (5); (1), (6) – ложны)

(4) и (7) не являются предложениями, так как они оба полностью бессмысленны, что не могут быть ни истинными, ни ложными, то есть лишены содержания.

Условимся обозначать предложения большими латинскими буквами А, В, С, … .

Вместе с каждым предложением А возникает предложение Ā - „не А”.

По определению считается, что Ā ложно (истинно) тогда, когда А истинно (ложно).

(1). Закон противоречия.

Ни при каком предложении А не могут быть А и Ā. Либо оба истинны, либо ложны.

3. Закон исключения третьего.

Для всякого предложения А оно само или его отрицание Ā истинно.

С точки зрения математической логики каждый закон физики и всякая теорема математики являются предложениями.

Над предложениями могут производится некоторые действия (операции).

Пусть задана упорядоченная пара предложений А и В.

Сложение.

Суммой или дизъюнкцией предложений А и В называется такое новое предложение, обозначаемое АВ, которое читается „А или В”, причём АВ истинно, если истинно хотя бы одно из предложений А или В.

Умножение.

Определение.

Произведение или конъюнкцией двух предложений называется такое новое предложение, которое обозначается АВ и читается „А и В”, причём АВ истинно, когда каждое из предложений и А и В истинны.

Импликация.

Определение.

Импликацией предложений А и В называется такое новое предложение, обозначаемое АВ, которое читается следующим образом „из А следует В”, или „если А то В”.

Причём предложение АВ истинно во всех случаях, кроме одного, когда А – истинно, а В – ложно

Пример.

А: n – кратно 4

В: n – чётно

Тогда АВ.

Эти введённые символы позволяют записать законы логики в простом виде:

1. А Ā – ложно при любом А.

2. АĀ – истинно при любом А.

Импликация в обе стороны, т.е. символ означает - равносильно.

Для любых А, В, С:

3. А (АВ)(АС)

4. А(ВС) (АВ)(АС)

4. И (4) – распределительные законы.

Закон двойственности.

При определении отрицания предложениями и операций над предложениями важнейшим является согласование об истинности исходного предложения.

Таблица истинности.

А	В	Ā	А V В	А Л В	АВ
ист	ист	л	ист	ист	ист
ист	л	л	ист	л	л
л	ист	ист	ист	л	ист
л	л	ист	л	л	ист

Недоумение может вызвать „ист” в нижнем правом углу таблицы. Дело в том, что предложение АВ равносильно предложению А В.

Тогда если А – ложно, то - истинно и дизъюнкция В истинно.

Таким образом, импликация беззащитна против ввода неверных данных.