- •Глава I. Действительные числа.
- •§1. Введение.
- •§2. Множества.
- •§3. Понятие множества действительных чисел.
- •§4. Отображения множеств.
- •Глава 2. Числовые последовательности.
- •§1. Понятие числовой последовательности.
- •§2. Бесконечно малые последовательности.
- •§3. Свойства сходящихся последовательностей.
- •Глава 3. Некоторые сведения из математической логики.
- •§1. Предложение.
- •§2. Предикаты.
- •§3. Кванторы.
- •§4. Предельный переход в неравенствах. (Глава 2)
- •§5. Бесконечно большие последовательности.
- •§6. Частичные последовательности (подпоследовательности).
- •§7. Монотонные последовательности.
- •§8. Теорема о вложенных отрезках.
- •§9. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
- •§10. Критерий Коши сходимости числовой последовательности.
- •§11. Число .
- •Глава 3. Функции.
- •§1. Понятие числовой функции числового аргумента.
- •§2. Предел функции в точке.
- •§3. Арифметические свойства пределов функций.
- •§4. Предельный переход в неравенствах.
- •§5. Односторонние пределы функции в точке. (пределы слева и справа)
- •§6. Пределы функций на бесконечности.
- •§7. Функции, стремящиеся к бесконечности. (Бесконечно большие функции.)
- •§8. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций.
- •§9. Специальные пределы функций.
- •Глава 4. Непрерывность функции.
- •§1. Определение непрерывной функции.
- •§2. Классификация точек разрыва функции.
- •§3. Простейшие свойства непрерывных функций.
- •§4. Некоторые свойства непрерывных функций на промежутке.
- •§5. Условия непрерывности монотонной функции. Обратная функция. Непрерывность обратной функции.
- •Глава 5. Производная функции.
- •§1. Понятие производной функции.
- •§2. Свойства производной функции.
- •§3. Производная обратной функции.
- •§4. Таблица производных.
- •Глава 6. Дифференцируемая функция. Дифференциал.
- •§1. Понятие дифференцируемой функции в точке и дифференциала.
- •§2. Некоторые свойства дифференциала функции в точке.
Глава 6. Дифференцируемая функция. Дифференциал.
§1. Понятие дифференцируемой функции в точке и дифференциала.
Определение.
Пусть f(x) имеет стандартную область определения X, xо – внутренняя точка одного из промежутков, образующих X.
Функция f(x) называется дифференцируемой в точке xо, если её приращение в точке xо ∆f(xо; ∆x), вызванное смещением ∆x, может быть представлено в виде ∆f(xо; ∆x)=A·∆x+(∆x), где A –число, а (∆x)=.
Определение.
Пусть f(x) дифференцируема в точке xо. Главная линейная часть приращения функции называется дифференциалом функции f(x) в точке xо.
Обозначение:
∆f(xо; ∆x)=A·∆x+(∆x)=df+, то есть =0
Примеры.
-
f(x)=, X=(, +)
xо=2
∆f(2; ∆x)==4+4∆x+=4∆x+
A=4, (∆x)==
df=4∆x
-
f(x)=, X=(, +)
а) xо=8 ∆f=∆f(8; ∆x)=f(8+∆x)f(8)== 1∆x
Главная линейная часть в точке xо =8.
∆f(8; ∆x)=∆x+
б) xо =7. ∆f(7; ∆x)= ∆f(7; ∆x)f(7)==.
Главной частью приращения функции ∆f является , A=0, 0.
Функция f(x)= не является дифференцируемой в точке xо=7, так как приращение функции не является линейной от ∆x при
(∆f(7; ∆x)= имеет порядок при )
Теорема 1. (Необходимое условие дифференцируемости функции в точке.)
Пусть f(x) имеет стандартную область определения X, и во внутренней точке xо одного из промежутков X f(x) дифференцируема.
Тогда f(x) непрерывна в точке xо.
Доказательство.
f(x) дифференцируема в точке xоX. Сместимся из точки xо в точку xо+∆xX.
Тогда ∆f(xо; ∆x)=f(xо+∆x)f(xо)= A·∆x+ ∆f(xо; ∆x)=(A·∆x+)=0.
f(x) непрерывна в точке xо.
Теорема 2. (Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке).
Пусть f(x) имеет стандартную область определения X, xо – внутренняя точка одного из промежутков из X.
f(x) дифференцируема в точке xо тогда и только тогда, когда f´(xо).
Доказательство.
-
Необходимость.
xоX, xо+∆xX, ∆x0.
f(x) дифференцируема в точке xо ∆f(xо; ∆x)= A·∆x+(∆x), A-число, (∆x)=.
Тогда f´(xо)====A.
-
Достаточность.
Пусть во внутренней точке xоX f´(xо).
Докажем, что f(x) дифференцируема в точке xо.
Так как f´(xо)= =f´(xо)+(∆x), где (∆x)=0 ∆f(xо; ∆x)= f´(xо)∆x+(∆x)·∆x. Положим A= f´(xо), (∆x)=(∆x)·∆x.
Тогда ==(∆x)=0 (∆x)=
f(x) дифференцируема в точке xо и df= f´(xо)∆x ∆f(xо; ∆x)= f´(xо) ∆x+(∆x), (∆x)=.
Следствие 1.
Рассмотрим функцию (x)=x ∆=∆x, (∆x)=0 d=dx= ∆x Дифференциал независимой переменной есть её приращение то есть dx не зависит от x!!!
А тогда df= f´(x)·dx.
Следствие 2.
Если в точке существует дифференциал, то он единственен, так как единственное значение производной функции в точке, ибо предел функции единственен.
Следствие 3.
Пусть в точке xX f´(x).
-
f´(x)0.
Тогда ∆f= ∆f(x; ∆x)=f´(x)·dx+(∆x)=df+
-
f´(x)=0 df= f´(x)·dx=0
§2. Некоторые свойства дифференциала функции в точке.
Из свойств производных следует:
-
dv=dC=0.
Дифференциал постоянной равен 0.
v(x)C на (, +).
-
d(C·u(x))=C·du(x)/
Константа выносится за знак дифференциала.
-
d(u + v)=du+dv
-
d(u· v)=du· v+u·dv
-
d=