§2. Предел функции в точке.

Определение.

Пусть f(х) – функция, имеющая стандартную область определения Х, х_о – фиксированная точка, лежащая внутри или являющаяся концом одного из промежутков, образующих Х.

Говорят, что f(х) имеет предел в т. х_о, равный L и пишут f(х)=L, если:

(Г) (в смысле Гейне) (К) (в смысле Коши)

{х_n}: 1. n: х_nХ 0 >0 х

n: х_n х_о :f(х_n)=L хХ

3.х_n= х_о х х_о : │f(х)- L│<

0 N : │f(х_n)-L│< │x - х_о│<

Теорема.

Определения (Г) и (К) эквивалентны ( (Г) (К) ).

Доказательство.

1). (К) (Г).

Дано: L является пределом функции f(х) в точке х_о в смысле Коши.

Докажем, что число L является пределом функции f(х) в точке х_о и в смысле Гейне.

Возьмём произвольную последовательность {х_n}, удовлетворяющую условиям:

1. n: х_nХ

2. n: х_n х_о (последовательность типа Гейне)

3. х_n= х_о

И рассмотрим последовательность соответствующих значений функции f(х): {f(х_n)}.

хХ

Так как L=^(К)f(х) 0 >0 х х х_о : │f(х)- L│<. │x - х_о│<

Возьмём произвольное 0 и возьмём ()>0, которое для >0 существует по определению Коши.

Так как х_n= х_о >0, а значит и для ()>0 N=N(()) n>N: │x - х_о│<. Тогда │f(х_n)- L│< 0 N n>N: │f(х_n)- L│< f(х_n)=L так как {х_n} была выбрана произвольно: f(х)=^(Г)L.

2). (Г) .

Дано: L=^(Г)f(х).

Докажем, что L=^(К)f(х) 0 >0 х (хХ, х х_о, │x - х_о│<) : │f(х)- L│<

Пусть L^(К)f(х) _о>0 >0 х′ (х′Х, х′ х_о, │x′ - х_о│<): │f(х′)- L│_о

Тогда для ₁=1>0 х₁′ (х₁′Х, х₁′ х_о, │x₁′ - х_о│<₁=1): │f(х₁′)- L│_о

для ₂=>0 х₂′ (х₂′Х, х₂′ х_о, │x₂′ - х_о│<₂=): │f(х₂′)- L│_о

..........................................................................................................................................

для _n=>0 х_n′ (х_n′Х, х_n′ х_о, │x_n′ - х_о│<_n=): │f(х_n′)- L│_о

…………………………………………………………………………………………………...

Мы построили последовательность {х′_n} такую, что:

1. n: х′Х, 2) n: х′ х_о, 3) n: │x′_n - х_о│<

Покажем, что х_о )=(х_n+)= х_о.

А тогда по теореме о предельном переходе в неравенствах для трёх последовательностей: x′_n= х_о.

И для {f(х′_n)} │f(х_n′)- L│_о f(х_n′)L.

Мы получили () () {х′_n} : │f(х_n′)- L│_о

Следовательно, (Г) (К).

§3. Арифметические свойства пределов функций.

Теорема 1.

Пусть f₁(х) и f₂(х) имеют общую стандартную область определения Х, точка х_о лежит внутри или является концом одного из промежутков, образующих Х, и L₁=f₁(х), L₂=f₂(х).

Тогда в точке х_о имеет предел и функция f₁(х)+ f₂(х) и он равен L₁+ L₂.

Теорема 2.

Пусть f₁(х) и f₂(х) имеют общую стандартную область определения Х, точка х_о лежит внутри или является концом одного из промежутков, образующих Х, и пусть L₁=f₁(х), L₂=f₂(х).

Тогда функция f₁(х)· f₂(х) имеет в точке х_о предел f₁(х)· f₂(х) и он равен L₁· L₂.

Теорема 3.

Пусть f₁(х) и f₂(х) имеют общую стандартную область определения Х, точка х_о лежит внутри или является концом одного из промежутков, образующих Х, и пусть L₁=f₁(х), L₂=f₂(х), L₂0.

Тогда частное двух функций в точке х_о имеет предел, он равен .

Доказательство всех трёх теорем проводится с использованием определения предела функции в точке х_о в смысле Гейне и арифметических свойств сходящихся последовательностей.

Докажем теорему 2.

Доказательство теоремы 2.

Рассмотрим функцию f₁(х)· f₂(х) на Х и возьмём произвольную последовательность {х_n} типа Гейне (n: х_nХ, n: х_n х_о, х_n= х_о) и соответствующую последовательность значений функций f₁(х_n)· f₂(х_n).

А так как по условию теоремы f₁(х)= L₁ {х_n}, а значит и для нашей {х_n} (n: х_nХ, n: х_n х_о, х_n= х_о): f₁(х_n)= L₁,

f₂(х)= L₂ {х_n}, а значит и для нашей {х_n}: f₂(х_n)= L₂.

А тогда по теореме о произведении двух сходящихся последовательностей:

f₁(х_n)· f₂(х_n)=f₁(х_n)·f₂(х_n)= L₁·L₂ так как {х_n} была вфбрана произвольно, то f₁(х)· f₂(х)= L₁·L₂.

Теорема 4.

Пусть f(х) имеет стандартную область определения Х, х_о лежит внутри или является концом одного из промежутков, образующих Х, и пусть f(х) в точке х_о имеет предел L. Тогда он единственен.

Доказательство.

Пусть L=^(Г)f(х). Утверждение теоремы непосредственно следует из определения предела функции в точке в смысле Гейне и единственности предела сходящейся последовательности.

Теорема 5.

Пусть f(х) имеет стандартную область определения Х, х_о лежит внутри или является концом одного из промежутков, образующих Х. f(х) в точке х_о имеет предел L когда f(х) представима в виде хХ: f(х)=L+(х), где (х)=0.

Доказательство.

1. Необходимость.

Пусть f(х)= L. Обозначим f(х)- L =(х) хХ: f(х)= L+(х).

Докажем, что (х)=0.

Действительно, f(х)=^(К) L 0 >0 х (хХ, х х_о,│x - х_о│<): │(х)│=│f(х)- L│< (х)=0.

2. Достаточность.

Дано:хХ: f(х)= L+(х), где (х)=0.

Докажем, что f(х)= L.

По условию, хХ: f(х)= L+(х), то (х)= f(х)- L

и т.к. (х)=0 0 >0 х (хХ, х х_о,│x - х_о│<): │(х)│= │f(х)- L│< f(х)= L.

Теорема 6. (об устойчивости знака функции, имеющей в точке предел)

Пусть f(х) имеет стандартную область определения Х, х_о лежит внутри или является концом одного из промежутков, образующих Х, и пусть f(х) имеет предел в точке х_о равный L0.

Тогда -окрестность точки х_о такая, что на множестве {(х_о-, х_о)}{( х_о, х_о+)}Х функция f(х) имеет тот же знак, что и L.

Доказательство.

Пусть f(х)= L, L0. Возьмём =>0.

Тогда 0, а значит и для =>0, >0 х (хХ, х х_о,│x - х_о│<):│ f(х)- L│<= L<f(х)< L+

1. Пусть L>0 │L│=L.

Тогда х{(х_о-, х_о)}{( х_о, х_о+)}Х: 0<L-=<f(х)< L+ 0<<f(х) f(х)>0.

2. Пусть L<0. │L│= - L.

х{(х_о-, х_о)}{( х_о, х_о+)}Х: L+<f(х)<L- L< f(х)<0

Определение.

Функция f(х) называется ограниченной на множестве Х, если f(х) ограничена на Х и снизу, и сверху.

Теорема 7. (о локальной ограниченности функции, имеющей в точке предел).

Пусть f(х) имеет стандартную область определения Х, точка х_о лежит внутри или является концом одного из промежутков, образующих Х, и пусть f(х) имеет в точке х_о предел, равный L. Тогда на множестве (х_о х_о+)Х f(х) ограничена.

Доказательство.

f(х)= L 0, а значит и для =1>0 >0 х (хХ, х х_о,│x - х_о│<): │f(х)- L│<=1 L-1<f(х)<L+1

а) Пусть х_оХ.

Положим A=min{L-1, f(х_o)},

B=max{L+1, f(х_o)}.

Тогда х(х_о х_о+)Х: Аf(х)В.

б) х_оХ.

Положим Тогда х(х_о х_о+)Х: Аf(х)В f(х) ограничена.