§5. Бесконечно большие последовательности.
(последовательности,
стремящиеся к -
,
к +
,
к
)
Определение.
Говорят,
что числовая последовательность {xn}
стремится к +
(к -
),
если
E>0
N
n>N:
xn>E
(соответственно, xn<-E)
и пишут
xn=+
(соответственно,
xn=-
).
Определение.
Говорят,
что последовательность {xn}
стремится к
,
если
>0
N
n>N:
│xn│>E
и пишут
xn=
.
Замечание.
Общее название таких последовательностей – бесконечно большие.
Примеры.
-
{1, 2, …, n, …} стремится к +
-
{-1, -4, -9, …, -n2, …} стремится к -
-
{2, 1, 4, 3, …, 2k, 2k-1, …} стремится к +
-
{1, -2, 3, -4, …, 2k-1, -2k, …} стремится к
,
но не стремится ни к +
,
ни к -
.
Замечание.
Неограниченные
последовательности, вообще говоря, не
стремятся ни к +
,
ни к -
,
ни к
…
Но тем не менее справедлива следующая теорема.
Теорема.
Любая
неограниченная сверху (неограниченная
снизу) возрастающая (соответственно,
убывающая) последовательность стремится
к +
(соответственно, к -
).
Доказательство.
Докажем основной случай.
Пусть {xn} неограниченна сверху и возрастает.
{xn}
неограниченна сверху
E>0
:
xN>E.
А
так как {xn}
возрастает, то
:
xn
xn+1
x1
x2
…
xN
xN+1
…
xn
…
при n>N
E>0
N
n>N:
xn>E
{xn}
стремится к +
.
Задача.
Доказать
самостоятельно, что любая неограниченная
снизу убывающая последовательность
стремится к -
.
§6. Частичные последовательности (подпоследовательности).
Пусть
задана числовая последовательность {
xn}
={x1,
x2, …, xn,
…} (1)
Тогда можно образовать следующие последовательности:
{x1, x3, x5, …, x2k-1, …} nk=2k-1, k=1, 2, …
{x2, x4, …, x2k, …} nk=2k, k=1, 2, …
{x1, x4, x9, …, xk·k , …} nk= k2, k=1, 2, …
{x2, x3, x5, x6, …, xpk, …} nk=pk, k=1, 2, …
Определение.
Частичной последовательностью или подпоследовательностью последовательности (1)называется любая последовательность вида
{xn1,
xn2,
…, xnk,
…}, в которой номера n1<n2<…<nk<…
образуют строго возрастающую
последовательность, при этом nk
k,
k=1, 2, …
Теорема 1.
Любая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится и имеет тот же предел.
Доказательство.
Пусть
{xn}
сходится
а
0
N
n>N:
│xn-а│<
и пусть { xn}
-
произвольная подпоследовательность
последовательности {xn}.
Докажем,
что
xn=а.
Так
как {nk}
строго возрастает и
:
nk
k,
то по теореме §5 {nk}
стремится к +
0,
а значит и для E=N>0
номер K такой, что
k>K:
nk>N
>0
>K:
│xn-а│<
а=
xnk.
Теорема 2.
Любая
подпоследовательность последовательности
стремящейся к +
(-
(соответственно, к -
).
Доказательство.
Пусть
{xn}
стремится к +
0
N
n>N:
xn>E.
Пусть {xnk} – произвольная подпоследовательность последовательности {xn}. Тогда по определению
nk=+
N>0
>K:
nk>N
E>0
>K:
xnk>E
xnk=+
.
Задача.
Доказать
самостоятельно теорему 2 в случае
стремления последовательности к -
.
Замечание.
Из сходимости некоторой подпоследовательности сходимость исходной последовательности, вообще говоря, не вытекает.
Пример 1.
Последовательность {0, 0, …, 0, …} является подпоследовательностью последовательности {0, 1, 0, 2, …}. Она неограниченна.
Пример 2.
Последовательность
{1, 0, 1, 0, …} (*) расходится, т.к. она имеет
две подпоследовательности {0, 0, …, 0, …}
nk=2k,
k=1, 2, …,
x2k=0
и {1, 1, …,
1, …} nk=2k-1,
k=1, 2, …,
x2k-1=1
и предположение о том, что (*) имеет предел приводит к противоречию с теоремой 1.
Возникает вопрос:
Сколько подпоследовательностей (произвольных, но фиксированных) имеет последовательность исходной?
Пусть
- множество всех
подпоследовательностей последовательности.
имеет мощность
континуума.
Определение.
Число
называется
частичным
пределом {xn},
если
{xnk}
– её подпоследовательность такая, что
xnk=
Рассмотрим множество M всех частичных пределов данной последовательности {xn}.
Возможны следующие варианты:
-
М
.
-
М – ограничено
inf
M
и sup
M
Определение.
Нижним
пределом {xn}
называется
=inf
М.
Верхним
пределом {xn}
называется
=sup
М.
-
М –ограниченно снизу и неограниченно сверху.
Тогда по определению
=inf
М, а
=+
.
-
М – ограниченно сверху и неограниченно снизу.
Тогда по определению
=sup
М, а
=
.
II.
M=
.
В этом случае у {xn} нет ни одной сходящейся подпоследовательности.
Например, {1, 2, 3, …, n, …}.
Тогда
1) если у последовательности {xn}
существует подпоследовательность,
стремящаяся к +
,
то
=+
.
2)
если у последовательности {xn},
существует подпоследовательность,
стремящаяся к -
,
то
=
.