Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
matan1_san.docx
Скачиваний:
0
Добавлен:
09.11.2018
Размер:
547.4 Кб
Скачать

Глава 2. Числовые последовательности.

§1. Понятие числовой последовательности.

Рассмотрим произвольное число a (а – фиксировано) и произвольное число r, r>0.

Определение.

r- окрестностью или окрестностью точки а радиуса r называется множество (а- r, а+ r), где

(а- r, а+ r)={x; x: <r}={ x; x: a-r<x<a+r}

Что такое последовательность?

  1. 1, 1, 1, …, 1, …

  2. 1, 2, 3, …, n, …

  3. -1, -2, -3, …, -n, …

  4. 0, 1, -1, 2, -2, …, k, -k, …

  5. 0, 1, 0, 1, …

  6. 1, , , …, , …

  7. , 0, , 0, , 0, …, , 0 , , …

  8. 1, 0, 2, …, 0, k, 0, …

  9. , , , , …, , , …

  10. , , , …, , …

Определение.

Говорят, что задана числовая последовательность, если указан закон, согласно которому каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число xn.

Замечание.

Иногда полезно бывает допустить n=0, в других случаях целесообразно считать, что n принимает все положительные целые значения, начиная с nо, то есть n=nо, nо+1, nо+2, …, nо - целое, nо>0.

Будем обозначать последовательность

{x1, x2, …, xn, …}={ xn}

{ xn} или { xn}

Определение.

Числовая последовательность (1) называется ограниченной сверху (снизу), если существует число В такое, что для любого n (n=1, 2, …): xnВ (соответственно существует число А такое, что для любого n (n=1, 2, …): xnА).

Определение.

Последовательность (1) называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу.

Определение.

Числовая последовательность (1) называется возрастающей (убывающей), если для любого n, n=1, 2, … : xnxn+1 (соответственно xnxn+1)

Определение.

Числовая последовательность (1) называется монотонной, если она либо возрастающая, либо убывающая.

Определение.

Последовательность (1) называется строго возрастающей (строго убывающей), если для любого n (n=1, 2, …): xn<xn+1 (соответственно xn>xn+1).

Общее название для строго возрастающей и строго убывающей последовательностей – строго монотонные.

Определение.

Число а называется пределом последовательности (1), если для каждого положительного числа >0) существует натуральное число (номер) N такое, что для любого номера n>N:

│xn-a│или -< xn-а< а-< xn< xn(а-, а+)

(а где расположены x1, x2, …, xN?)

Предел последовательности (1) обозначается: а=xn.

Определение.

Числовая последовательность называется сходящейся, если она имеет предел, то есть если существует число а такое, что а=xn существует а такое, что для каждого >0 существует номер N такой, что для каждого номера n>N: │xn-a│.

Определение.

Последовательность (1) {xn } называется расходящейся, если она не имеет предела; если какое бы число а не взять существует о (о>0) такое, что для каждого номера N существует номер nо>N такой, что │xno-a│о.

§2. Бесконечно малые последовательности.

Среди всех сходящихся последовательностей особую роль играют последовательности, сходящиеся к нулю, то есть такие, что 0=xn.

Определение.

0=xn для каждого >0 существует номер N такой, что для каждого номера n>N: │xn│< xn(-, ).

Определение.

Последовательность, сходящаяся к нулю, называется бесконечно малой (б.м.).

Пример.

{1, , , …, , …}={ }

Докажем, что .

Возьмём произвольное >0 и зафиксируем его. Ищем N такое, что для любого номера n>N: <.

Положим N=+1.

Возьмём произвольный номер n>N=+1 n> <. Что и требовалось доказать.

Задача 1.

Пусть q – произвольной действительное число, │q│<1.

Рассмотрим последовательность {1, q, q2, …, qn, …}={qn}

Доказать, что qn=0.

Задача 2.

Доказать, что любая бесконечная десятичная дробь является пределом последовательности своих десятичных приближений.

Теорема 1.

Для того, чтобы последовательность (1) { xn} сходилась к числу а необходимо и достаточно, чтобы для любого номера n, n=1, 2, …: xn=а+n, где последовательность {n} б.м.

Доказательство.

  1. Необходимость.

Пусть а=xn. Рассмотрим последовательность {n}={ xn-а}.

аxn для каждого >0 существует номер N такой, что для любого номера n>N: │xn-а│< n│< 0=n.

  1. Достаточность.

Пусть дана последовательность { xn} и для каждого n, n=1, 2, … : xn=а+n, где {n} – б.м.

Докажем, что а=xn.

{n} – б.м. для каждого >0 существует номер N такой, что для каждого номера n>N: │n│< n│=│xn-а│< а=xn.

Свойства бесконечно малых последовательностей.

I Лемма 1.

Пусть {n} б.м. Тогда для любого числа А: {n} – б.м.

Доказательство.

  1. А=0. Тогда для любого n, n=1, 2, …: Аn=0n=0 {n} – б.м.

  2. {n} - б.м. для каждого >0, а значит для >0 существует номер N такой, что для любого номера n>N:

n│< │А│∙│n│=│Аn│< 0=n {n} б.м.

II Лемма 2.

Сумма двух бесконечно малых последовательностей бесконечно мала.

Доказательство.

Пусть заданы две б.м. последовательности {n} и {n}. Рассмотрим последовательность {n+n } и докажем, что она б.м.

{n} – б.м. для каждого >0, а значит и для >0 существует номер N1 такой, что для любого номера n>N1: │n│<

{n} – б.м. для каждого >0, а значит и для >0 существует номер N2 такой, что для любого номера n>N2: │n │<.

Тогда n>N=max{N1, N2}: │n+nn │+│n │<= n+n)=0

III Лемма 3.

Произведение б.м. последовательности на ограниченную последовательность – б.м.

Доказательство.

Пусть {n} – б.м., {n} ограничена. Докажем, что {n} – б.м.

Так как {n} ограниченасуществует M>0 такое, что для любого n, n=1, 2, …: │nM.

Если положить А= -M, а В=M, то для любого n: АnВ

n=0 для каждого >0, >0 существует номер N такой, что для любого номера n>N: │n│<.

Тогда для любого номера n>N: │nn│=│n│∙│n│<∙M=.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]