18. Доказать:

lim sin(x) = 1.

^{x 0} x

Д оказательство: возьмем единичную окружность.

S_OBC = 1*tg(x) / 2

S_OCA = 1*1*sin(x) / 2

S_{сектора OCA} = x*1² / 2 

S_OBC > S_{сектора OCA} > S_OCA 

tg(x) > x > sin(x) ( при 0<x</2 ) (1)

Умножим sin(x) < x < tg(x) на 1/sin(x) > 0, тогда имеем:

1<x/sin(x)<1/cos(x)

cos(x)<sin(x)/x<1

Т.к. lim cos(x) =1 при x0, то по теореме о промежуточной функции имеем, что

sin(x)/x  1 при x0. #

19. Доказать:

lim (1+1/x)^x = e

^xOO

функция непрерывна и определена при –OO<x<-1 и 0<x<+OO

Доказательство: a) x +OO.

lim (1+1/n)ⁿ = e

^nOO

Если {n_k} – любая б.б. последовательность натуральных чисел, n_kOO, то т.к. {n_k} подпоследовательность последовательности {n} 

lim (1+1/n_k)^nk = e

^kOO

Пусть теперь {x_k} произвольная б.б. последовательность действительных чисел, x_k+OO.

Если [x_k]=n_k-целая часть x_k, то n_k<=x_k<n_k+1, и следовательно, n_kOO при x_k+OO. Справедливы неравенства:

1/(n_k+1)<1/x_k<=1/n_k

и следовательно:

(1+1/(n_k+1))^nk<(1+1/x_k)^xk<(1+1/n_k)^nk+1, но

Но (1+1/(n_k+1))^nk  e и (1+1/n_k)^nk+1  e, и по теореме о промежуточной последовательности получаем:

(1+1/x_k)^xk  e для любой б.б. последовательности {x_k}. Согласно определению предела функции по Гейне, это значит:

lim (1+1/x)^x = e

^x+OO

б) x -OO.

Пусть n_k=-w_k-1 и w_k=-n_k-1. При nk-OO wk+OO, тогда имеем:

(1+1/n_k)^nk=(1-1/(w_k+1))^-wk-1=(1+1/w_k)^wk(1+1/w_k).

Если {nk} – произвольная отрицательная б.б. последовательность , то {wk} – положительная б.б. последовательность и, следовательно, по доказанному:

lim (1+1/n_k)^nk= lim (1+1/w_k)^wk lim (1+1/w_k) = e.

Согласно определению Гейне это означает, что

lim (1+1/x)^x = e

^{x- OO}

Из совпадения односторонних пределов делаем вывод, что:

lim (1+1/x)^x = e

^xOO #

20. Эквивалентность бесконечно малых функций. Сравнение бесконечно малых функций по порядку малости. Главная часть. Необходимое и достаточное условие эквивалентности.

Опр1. Б.м.ф. (x) и (x) эквивалентны при xa, если lim (x)/(x) = 1, при xa.

Сравнение по порядку малости.

1) Б.м.ф. (x) и (x) одного порядка малости при xa, если

lim (x)/(x) = С (С0,OO), при xa.

2) Величина (x) – есть величина более высокого порядка малости, чем b(x) при xa, если

lim (x)/(x) = 0, при xa

Опр2. Если (x)~c[(x)]^k (c0,OO) , то б.м.ф. c[(x)]^k называется главной частью величины

(x) относительно (x) при xa.

Теорема. Для того чтобы (x)~(x) при xa  (x)=(x)+o[(x)]

Доказательство:

(x) ~ (x)  + o[]

lim (x)/(x) = 1, при xa  lim [(x)-(x)]/(x) = 0

(x)-(x) = o[(x)]

=+o[]  ~

 + o[](x) ~ (x)

-=o[(x)]  lim [(x)-(x)]/(x) = 0  lim[(x)/(x) -1]= 0  lim (x)/(x) = 1, при xa. #

21. Непрерывность функции в точке. Арифметические операции с непрерывными функциями. Непрерывность сложной функции.