Глава 2. Числовые последовательности.

§1. Понятие числовой последовательности.

Рассмотрим произвольное число a (а – фиксировано) и произвольное число r, r>0.

Определение.

r- окрестностью или окрестностью точки а радиуса r называется множество (а- r, а+ r), где

(а- r, а+ r)={x; x: <r}={ x; x: a-r<x<a+r}

Что такое последовательность?

1. 1, 1, 1, …, 1, …

2. 1, 2, 3, …, n, …

3. -1, -2, -3, …, -n, …

4. 0, 1, -1, 2, -2, …, k, -k, …

5. 0, 1, 0, 1, …

6. 1, , , …, , …

7. , 0, , 0, , 0, …, , 0 , , …

8. 1, 0, 2, …, 0, k, 0, …

9. , , , , …, , , …

10. , , , …, , …

Определение.

Говорят, что задана числовая последовательность, если указан закон, согласно которому каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число x_n.

Замечание.

Иногда полезно бывает допустить n=0, в других случаях целесообразно считать, что n принимает все положительные целые значения, начиная с n_о, то есть n=n_о, n_о+1, n_о+2, …, n_о - целое, n_о>0.

Будем обозначать последовательность

{x₁, x₂, …, x_n, …}={ x_n}

{ x_n} или { x_n}

Определение.

Числовая последовательность (1) называется ограниченной сверху (снизу), если существует число В такое, что для любого n (n=1, 2, …): x_nВ (соответственно существует число А такое, что для любого n (n=1, 2, …): x_nА).

Определение.

Последовательность (1) называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу.

Определение.

Числовая последовательность (1) называется возрастающей (убывающей), если для любого n, n=1, 2, … : x_nx_n+1 (соответственно x_nx_n+1)

Определение.

Числовая последовательность (1) называется монотонной, если она либо возрастающая, либо убывающая.

Определение.

Последовательность (1) называется строго возрастающей (строго убывающей), если для любого n (n=1, 2, …): x_n<x_n+1 (соответственно x_n>x_n+1).

Общее название для строго возрастающей и строго убывающей последовательностей – строго монотонные.

Определение.

Число а называется пределом последовательности (1), если для каждого положительного числа >0) существует натуральное число (номер) N такое, что для любого номера n>N:

│x_n-a│или -< x_n-а< а-< x_n< x_n(а-, а+)

(а где расположены x₁, x₂, …, x_N?)

Предел последовательности (1) обозначается: а=x_n.

Определение.

Числовая последовательность называется сходящейся, если она имеет предел, то есть если существует число а такое, что а=x_n существует а такое, что для каждого >0 существует номер N такой, что для каждого номера n>N: │x_n-a│.

Определение.

Последовательность (1) {x_n } называется расходящейся, если она не имеет предела; если какое бы число а не взять существует _о (_о>0) такое, что для каждого номера N существует номер n_о>N такой, что │x_no-a│_о.

§2. Бесконечно малые последовательности.

Среди всех сходящихся последовательностей особую роль играют последовательности, сходящиеся к нулю, то есть такие, что 0=x_n.

Определение.

0=x_n для каждого >0 существует номер N такой, что для каждого номера n>N: │x_n│< x_n(-, ).

Определение.

Последовательность, сходящаяся к нулю, называется бесконечно малой (б.м.).

Пример.

{1, , , …, , …}={ }

Докажем, что .

Возьмём произвольное >0 и зафиксируем его. Ищем N такое, что для любого номера n>N: <.

Положим N=+1.

Возьмём произвольный номер n>N=+1 n> <. Что и требовалось доказать.

Задача 1.

Пусть q – произвольной действительное число, │q│<1.

Рассмотрим последовательность {1, q, q², …, qⁿ, …}={qⁿ}

Доказать, что qⁿ=0.

Задача 2.

Доказать, что любая бесконечная десятичная дробь является пределом последовательности своих десятичных приближений.

Теорема 1.

Для того, чтобы последовательность (1) { x_n} сходилась к числу а необходимо и достаточно, чтобы для любого номера n, n=1, 2, …: x_n=а+_n, где последовательность {_n} б.м.

Доказательство.

1. Необходимость.

Пусть а=x_n. Рассмотрим последовательность {_n}={ x_n-а}.

аx_n для каждого >0 существует номер N такой, что для любого номера n>N: │x_n-а│< │_n│< 0=_n.

2. Достаточность.

Пусть дана последовательность { x_n} и для каждого n, n=1, 2, … : x_n=а+_n, где {_n} – б.м.

Докажем, что а=x_n.

{_n} – б.м. для каждого >0 существует номер N такой, что для каждого номера n>N: │_n│< │_n│=│x_n-а│< а=x_n.

Свойства бесконечно малых последовательностей.

I Лемма 1.

Пусть {_n} б.м. Тогда для любого числа А: {_n} – б.м.

Доказательство.

1. А=0. Тогда для любого n, n=1, 2, …: А_n=0_n=0 {_n} – б.м.

2. {_n} - б.м. для каждого >0, а значит для >0 существует номер N такой, что для любого номера n>N:

│_n│< │А│∙│_n│=│А_n│< 0=_n {_n} б.м.

II Лемма 2.

Сумма двух бесконечно малых последовательностей бесконечно мала.

Доказательство.

Пусть заданы две б.м. последовательности {_n} и {_n}. Рассмотрим последовательность {_n+_n } и докажем, что она б.м.

{_n} – б.м. для каждого >0, а значит и для >0 существует номер N₁ такой, что для любого номера n>N₁: │_n│<

{_n} – б.м. для каждого >0, а значит и для >0 существует номер N₂ такой, что для любого номера n>N₂: │_n │<.

Тогда n>N=max{N₁, N₂}: │_n+_n││_n │+│_n │<= _n+_n)=0

III Лемма 3.

Произведение б.м. последовательности на ограниченную последовательность – б.м.

Доказательство.

Пусть {_n} – б.м., {_n} ограничена. Докажем, что {_n} – б.м.

Так как {_n} ограниченасуществует M>0 такое, что для любого n, n=1, 2, …: │_n│M.

Если положить А= -M, а В=M, то для любого n: А_nВ

_n=0 для каждого >0, >0 существует номер N такой, что для любого номера n>N: │_n│<.

Тогда для любого номера n>N: │_n∙_n│=│_n│∙│_n│<∙M=.