§3. Понятие множества действительных чисел.

Определение (аксиоматическое).

Непустое множество ={x} элементов x произвольной природы называется множеством действительных чисел, если выполняются следующие условия:

I На множестве введена операция сложения элементов, т.е. указан закон, согласно которому каждой упорядоченной паре элементов x, y из поставлен в соответствие элемент из обозначаемый x+y и называемый суммой элементов x и y так, что выполняются следующие (аксиомы сложения) условия:

(1)_I В существует единственный нейтральный элемент (называемый нулём при сложении) такой, что для любого x выполнено:

x+=+x=x

(2)_I Для каждого x существует единственный элемент из , называемый противоположным элементу x, обозначаемый (-x) и такой, что

x+(-x)=(-x)+x=

(3)_I Для любых x, y, z

x+(y+z)=(x+y)+z (ассоциативность)

(4)_I Для любых x, y из

x+y=y+x (коммутативность)

II На множестве введена операция умножения элементов, т.е. указан закон, согласовано которому каждой упорядоченной паре элементов x, y из поставлен в соответствие элемент из называемый произведением x на y и обозначаемый xy так, что выполнены следующие условия (аксиомы умножения):

(1)_II В существует единственный нейтральный элемент (единица при умножении) обозначаемый 1 такой, что для любого x:

x·1=1·x=x

(2)_II Для любого x{ } существует единственный элемент из , называемый обратным к x и обозначаемый x^-1 такой, что:

x· x^-1= x^-1·x=1

(3)_II Для любых x, y, z из :

x·(y·z)=(x·y)·z (ассоциативность)

(4)_II Для любых x, y, z из :

x·y=y·x (коммутативность)

(I, II) – Связь между сложением и умножением.

В для любых x, y, z:

(x+y)·z=x·z+y·z (дистрибутивность)

III На задано отношение порядка, т.е. для любых двух элементов x, y установлено: выполняется или нет x (x меньше или равно ).

При этом отношение удовлетворяет следующим аксиомам порядка:

(1)_III Для любого x из :

x (рефлексивность)

(2)_III Если для двух x и y: xy и yx, то x=y (x есть y)

(3)_III Если для x, y, z выполнено:

xy и yz, то xz (транзитивность)

(4)_III Для любых x, y, z, если xy, то

x+zy+z

(5)_III Для любых x, y из , либо xy, либо yx (либо и то и другое)

(6)_III Для x, y, если 0x, 0y, то 0xy

Замечание.

1. По определению x означает, что yx.

2. Как следствие получаем, что для любых x, y имеет место одно и только одно из соотношений:

xy, x=y, xy.

IV Аксиома Архимеда.

Для любого элемента с, удовлетворяющего условию 0с; существует натуральное число n>с.

V Аксиома полноты (непрерывности).

Для любых двух непустых множеств X={x} и Y={y}, X , Y, удовлетворяющих условию: для любых x, y xy, существует элемент с такой, что для любого x и любого y: x, сy, т.е. xy.

Определение.

Каждый элемент множества называется действительным числом.

Приведённая система аксиом непротиворечива, т.к. существуют множества, удовлетворяющие I – V.

Например.

Десятичная форма числа, двоичная форма числа.

Замечание.

Единственность нейтральных элементов по сложению и умножению, а также противоположного и обратного элемента может быть выведена из аксиом и их единственность можно не требовать заранее.

Определение.

Непустое множество G, удовлетворяющее I: (1)_I - (3)_I называется аддитивной или абелевой⁴ группой.

Определение.

Непустое множество , удовлетворяющее условиям I_(1-4), II_(1-4), (I, II) называется полем.

Определение.

Непустое множество , удовлетворяющее условиям называется линейно упорядоченным полем.

Определение.

Непустое множество, удовлетворяющее условиям I, II, III, IV называется архимедовым полем.

Определение.

Действительные числа 1, 1+1=2, 2+1=3, … называются натуральными числами.

Множество всех натуральных чисел содержит 1 и вместе с каждым n содержит n+1.

Определение.

Все натуральные числа, все им противоположные и нуль образуют множество всех целых чисел.

Определение.

Число вида p·q^-1= p·где q, p называется рациональным числом.

Множество всех рациональных чисел обозначается .

Определение.

Каждое действительное число, не являющееся рациональным, называется иррациональным.