Глава 5. Производная функции.
§1. Понятие производной функции.
Пусть f(x) имеет стандартную область определения X, xо – внутренняя точка одного из промежутков X.Сместимся из точки xо в точку x= xо+∆x так, чтобы не покинуть X
x= xо+∆x
X.
Тогда f(x) получает приращение ∆f(xо, ∆x) в точке xо, вызванное смещением ∆x.
∆f=∆f(xо, ∆x)= f(xо +∆x) –f(xо)= f(x) – f(xо).
Пусть ∆x
0.
Рассмотрим
=
Определение.
Предел
,
если он существует, называется производной
функции f(x)
в точке xо и обозначается:
f`(xо)=
=
=
(x
xо)
.
Теорема 1.
Пусть f(x)
имеет в точке x
X
производную.
Тогда f(x) непрерывна в точке x.
Доказательство.
-
x
X:
2.-3. Так как
=
f`(x)
=
f`(x)+
(∆x),
где
(∆x)=0.
f(x+∆x) –
f(x)= f`(x)·∆x+
(∆x)·
∆x
(f(x+∆x)
– f(x))=0
f(x+∆x)=
f(x)
f(x) непрерывна
в точке x
X.
§2. Свойства производной функции.
Пусть функции
f(x) и g(x)
имеют общую стандартную область
определения X, и во внутренней точке x
одного из промежутков X, x
X
f`(x)
и
g`(x).
Тогда
(1).
x
X,
f`(x), g`(x) по
условию, ∆x
0,
x+∆x
X
∆(f(x)+ g(x))=(f(x+∆x)+g(x+∆x)) – (f(x)+g(x))=(f(x+∆x) – f(x))+(g(x+∆x) – g(x))=∆f(x; ∆x)+∆g(x; ∆x)
(f(x)+
g(x))`=
=
(
+
)=
f`(x)+ g`(x).
(2).
∆(f·g)=f(x+∆x)·g(x+∆x) – f(x)·g(x)=f(x+∆x)·g(x+∆x) – f(x)·g(x+∆x)+f(x)·g(x+∆x) –f(x)·g(x)=(f(x+∆x) –f(x))g(x+∆x)+f(x)(g(x+∆x) –g(x)).
Так
как
(x)=
=
(x)+
(∆x)
g(x+∆x) =g(x)+
(x)·∆x+
(∆x)·∆x
g(x+∆x)=g(x)
g(x) непрерывна в
точке x.
А значит,
=
(
·g(x+∆x)+f(x)·
)=
f`(x)· g(x)+
f(x)·g`(x).
(3). Пусть
g(x)
0,
и по теореме о сохранении знака
непрерывной функции
>0
∆x:
x+∆x
(x
–
,
x+
)
X:
g(x+∆x)
0.
Тогда
∆x,
x+∆x
(x
–
,
x+
)
X:
∆
=
–
=
.
Возьмём ∆x
0
и рассмотрим
=
f`(x)=
f(x+∆x)=
f(x)+
f`(x)·∆x+
(∆x)·∆x,
где
(∆x)=0
=
(f`(x)g(x)
– f(x)g`(x)).
(3).
(4).
F(x)=f(
(x)).
x
X,
x+∆x
X.
∆F=F(x+∆x)
–F(x)=f(
(x+∆x))
–f(
(x)).
f:
Z
Y,
Y
R,
f(z) имеет
производную во внутренней точке z
Z.
:
X
,
Z,
(x)
имеет производную во внутренней точке
x
X.
Тогда
Доказательство.
Возьмём
произвольную внутреннюю точку x
X
и сместимся из неё в точку x+∆x
X,
∆x
0
∆
=∆
(x;
∆x)=
(x+∆x)
(x)=∆z
f(z)получит приращение ∆f(z;
∆z)=f(z+∆z)
f(z)=f´(z)·∆z+
(∆z)·∆z
(∆z)=0,
ибо
f´(z)
f´(z)(
(x+∆x)
(x))+
(∆z)·∆z.
Делим на
∆x
0.
=
=
=f´(z)
+
(∆z)
=
f´(z)
´(x)+0=
f´(z)
´(x)
.
§3. Производная обратной функции.
Теорема.
Пусть функции
f: X
Y
и g=f-1: Y
X
взаимно обратны и непрерывны в точках
xо
X
и yо
Y
соответственно; yо=f(xо). Если
f(x) имеет в точке xо производную и
f´(xо)
0,
то g(x) так же имеет производную в точке
yо= f(xо) и
.
Доказательство.
Так как f(x) и
g(x) взаимно обратны, то f(x)
f(xо)
и g(y)
g(yо) при y=f(x) не обращаются в нуль,
если x
xо,
yо= f(xо).
Из непрерывности
f(x) в точке xо и g(y) в точке yо
следует, что (x
xо)
(y
yо).
Используя
теорему о пределе сложной функции и
арифметические свойства пределов
функции, при ∆x
0,
∆y
0
получаем
=
=
=
=
.
Пример.
f(x)=
,
X=
.
X=g(y)=arcsin
y, y
x
y=sin x
(
1,
1).
Применяя теорему о производной обратной функции, получаем
(arcsin
y)´=
=
=
=
.
§4. Таблица производных.
-
f(x)=
,
X
Возьмём внутреннюю точку X, сместимся
из неё в точку x+∆x, не покидая X, x+∆x
X
и пусть ∆x
0.
По определению f´(x)=
.
Пусть x
0.
f(x+∆x)
f(x)=
=
·
=
·
·∆x
f´(x)=
=
=
·
.
.
Пусть x=0,
>1
=∆x.
=
=0
=1.
<0
(либо точка x=0 не является внутренней,
либо нет производной).
-
f(x)=
,
a>0, a
1,
X=(
,
+
)
x
X,
∆x
0,
x+∆x
X.
а) f(x)=
=
=
=
.
б) f(x)=
=
.
Применяя теорему о производной сложной
функции, получаем (
)´=(
)´=
.
-
f(x)=
,
X=(0, +
),
x
X,
∆x
0,
x+∆x
X.
=
=
=
.
f(x)=
,
a>0, a
1,
X=(0, +
).
=
-
f(x)=
,
X=(
,
+
),
∆x
0,
x+∆x
X.
=
=
=
=
=
.
-
f(x)=
,
X=(
,
+
)
=
=
=
=
=
-
f(x)=tg x=
(tg x)´=
=
=
-
f(x) =ctg x=
=
-
y= f(x)=
,
X=
,
Y=[
1,
1]
Применяя теорему о производной обратной функции, получаем
(
)´=
=
=
=
,
x
(
,
)
y
(
1,
1)
-
x=arcos y=
,
y
(
1,
1)
-
x=arctg y, Y=(
,
+
)
tg x=y
(arctg y)´=
=
=
=
-
x=arcctg y, Y=(
,
+
)
(arcctg y)´=
=
=
=
