§2. Классификация точек разрыва функции.

Определение.

Точка разрыва x_о функции f(x) называется точкой разрыва I-го рода, если

(А). x_о X и x_о лежит внутри одного из промежутков, образующих X, и в точке x_о существуют односторонние пределы функции f(x), то есть f(x) и f(x).

y

x

0

y

x

(В). x_о X и является концом только одного промежутка из X, и в точке x_о существует соответствующий единственные односторонний предел функции и он не равен значению f(x_о).

(С). x_о X, но является концом одновременно двух смежных промежутков из X и в точке x_о f(x) и f(x).

x

y

x

y

Определение.

Точка разрыва I-го рода называется точкой устранимого разрыва, если f(x).

Слово устранимый означает, что можно взять такую функцию g(x), которая всюду совпадает с f(x), кроме точки x_о, и g(x) непрерывна в точке x_о.

Определение.

Любая точка разрыва, не являющаяся точкой разрыва I-го рода, называется точкой разрыва II-го рода.

Примеры.

1. f(x)=, (–, 0)(0, +)

f(x)=+, f(x)=+

2. f(x)= X=(, +)

Точка x_о=0 является точкой разрыва II-го рода.

Определение.

Говорят, что функция f(x) со стандартной областью определения X непрерывна справа (слева) в точке x_о, если

1. x_о X

2. f(x) (соотв. f(x) )

3. f(x)= f(x_о) (соотв. f(x)= f(x_о) )

§3. Простейшие свойства непрерывных функций.

Теорема 1. (Об арифметических свойствах непрерывных функций.)

Пусть функции f₁(x) и f₂(x) имеют общую стандартную область определения X, и обе эти функции непрерывны в точке x_о.

Тогда в точке x_о непрерывны и функции:

1. f₁(x) f₂(x)

2. f₁(x)· f₂(x)

3. Если f₂(x_о)0, то в точке x_о непрерывна и функция

Доказательство.

Докажем теорему 1 для функции f₁(x)f₂(x).

Функция f₁(x) определена на X₁, f₂(x) определена на X₂ и X=X₁X₂.

Для функции f₁(x)f₂(x) проверим выполнение всех трёх условий непрерывности функции в точке x_о.

(1). x_о X.

f₁(x), f₂(x) непрерывны в точке x_о x_о X₁, x_о X₂ x_о X.

(2).

согласно арифметическим свойствам предела функции.

(3). (f₁(x) f₂(x))= f₁(x_о)f₂(x_о)

Все три условия выполнены, следовательно, функция f₁(x)f₂(x) непрерывна в точке x_о.

Определение.

Пусть f(z) имеет стандартную область определения Z, функция (x) имеет стандартную область определения X, и пусть xX: (x)Z.

Тогда функция F(x)=f((x)), определённая на , называется сложной функцией или суперпозицией функций z=(x) и y=f(z).

Теорема 2. (О непрерывности сложной функции.)

Пусть функции f(z), (x) и F(x) имеют стандартные области определения Z, X и X соответственно, и пусть f(z) непрерывна в точке z_оZ, z_о=(x_о), (x) непрерывна в точке x_о. Тогда F(x) непрерывна в точке x_о.

Доказательство.

Воспользуемся I-ой расшифровкой определения непрерывности.

F(x) непрерывна в точке x_о (1) x_о

(2)-(3) {х_n} n: х_n, х_n= х_о : F(x_n)= F(x_о) .

Возьмём произвольную последовательность {х_n} такую, что n: х_n, х_n= х_о. Тогда n: (x_n)=z_nZ и z_n=z_о, так как в силу непрерывности(x) в точке x_о z_n=(x_n)=(x_о)= z_о.

А так как f(z) непрерывна в точке z_о, то f(z_n)= f(z_о) f(z_n)=f((x_n))=f((x_о)) или F(x_n)= F(x_о).

Теорема 3. (О сохранении знака непрерывной функции.)

Пусть f(x) имеет стандартную область определения X, f(x) непрерывна в точке x_о и пусть f(x_о)0.

Тогда -окрестность (x_о –, x_о+) точки x_о такая, что на множестве X(x_о –, x_о+) f(x) отлична от нуля и имеет тот же знак, что и f(x_о).

Доказательство.

f(x) непрерывна в точке x_о x_о X >0, а значит и для >0 0 x (x X, │x - х_о│<│f(x) –f(x_о)│<= f(x_о) –<f(x)< f(x_о)+.

1. Пусть f(x_о)>0 │f(x_о)│= f(x_о).

Тогда x(x_о –, x_о+)X: f(x_о) – <f(x)< f(x_о)+ <f(x_о) x(x_о –, x_о+)X: f(x)>0.

2. Пусть f(x_о)<0 │f(x_о)│= –f(x_о).

x(x_о –, x_о+)X: f(x_о)+<f(x)< f(x_о) – <0 f(x_о)< f(x)<<0.

Теорема 4. (О локальной ограниченности непрерывной функции.)

Пусть f(x) имеет стандартную область определения X и непрерывна в точке x_о.

Тогда существует такая окрестность точки x_о, в которой f(x) ограничена.

Доказательство.

f(x) непрерывна в точке x_о x_о X, >0, а значит и для =1>0, =(1)>0 x (x X, │x - х_о│<): │f(x) –f(x_о)│<=1 f(x_о) –1<f(x)< f(x_о)+1.

Положим А=f(x_о) –1, В=f(x_о)+1.

Тогда x(x_о –, x_о+)X: Аf(x)В f(x) ограничена на множестве x_о –, x_о+)X.

Множество (x_о –, x_о+)X является окрестностью точки x_о, может быть и односторонней, так как X – стандартная область определения.