- •2. Розділ 2 границі функції в точці та
- •5. Розділ 5. Похідна функції та її
- •Приклади для розв’язування.................................................44
- •6..4 Приклади для розв’язування........................................................54
- •Приклади для розв’язування.................................................64
- •Приклади для розв’язування......................................................73
- •Розділ 1. Функції, їх властивості та графіки План
- •Приклади для розв’язування.
- •Елементарні функції та їх графіки
- •4. Найпростіші перетворення графіків функцій.
- •5. Приклади для розв’язування.
- •3. Побудувати графік функції та указати область значень:
- •Розділ 2. Границі функції в точці та на нескінченності та їх використання для дослідження функцій План
- •Границя функції в точці.
- •Дослідження функції на неперервність
- •1. Границя функції в точці
- •2. Теореми про границі.
- •3. Правила обчислення границь.
- •4. Границя функції на нескінченності.
- •5.Дослідження функції на неперервність.
- •5. Приклади для розв’язування.
- •Розділ 3. Тригонометрія План
- •6. Основні формули тригонометрії.
- •7. . Найпростіші тригонометричні рівняння
- •8. Приклади для розв’язування.
- •1. Визначення тригонометричних функцій
- •Слід пам’ятати:
- •7. «Найпростіші тригонометричні рівняння»
- •8. Приклади для розв’язування.
- •Розділ 4. Степені та логарифми План
- •Приклади для розв’язування.
- •1. Степені. Корінь n-го степеня.
- •4. Поняття логарифмів .
- •6. Приклади для розв’язування
- •Розділ 5. Похідна та її використання План
- •Приклади для розв’язування
- •1. Поняття похідної функції.
- •2. Фізичний зміст похідної:
- •3. Геометричний зміст похідної.
- •4. Рівняння дотичної і нормалі до плоскої кривої.
- •Приклади для розв’язування
- •15. Знайти рівняння дотичної до графіка функції , яка паралельна прямій .
- •21. ***Задачі на знаходження найбільших та найменших значень величин.
- •Розділ 6. Інтеграл та його використання План
- •3. Таблиця невизначених інтегралів.
- •4. Визначений інтеграл.
- •1. Первісна та невизначений інтеграл.
- •2. Основні властивості невизначеного інтеграла.
- •3. Таблиця невизначених інтегралів.
- •Визначений інтеграл
- •6.Формула Ньютона – лейбніца.
- •7. Використання інтегралів для обчислення площі плоских фігур
- •Приклади для розв’язування.
- •6. Обчислити визначений інтеграл.
- •Розділ 7. Вектори та координати План
- •Вектори та дії з ними.
- •Лінійні операції над векторами.
- •Рівняння прямої на площині».
- •Розв’язання систем лінійних рівнянь за формулами Крамера
- •5. Приклади для розв’язування.
- •1. Вектори та дії з ними.
- •2. Лінійні операції над векторами.
- •3. Рівняння прямої на площині».
- •4. Розв’язання систем лінійних рівнянь за формулами Крамера
- •5. Приклади для розв’язування.
- •Розділ 8. . Стереометрія План
- •Приклади для розв’язування
- •Основні поняття стереометрії
- •2. Аксіоми стереометрії
- •3. Теореми стереометрії
- •4. Площі геометричних фігур.
- •5. Площі поверхонь та об’єми геометричних тіл.
- •6. Паралельні проекції деяких плоских фігур.
- •7.Приклади для розв’язування
Розділ 5. Похідна та її використання План
-
Поняття похідної
-
Фізичний зміст похідної
-
Геометричний зміст похідної
-
Рівняння дотичної та нормалі до графіка функції
-
Правила диференціювання
-
Таблиця похідних
-
Похідна складних функцій
-
Використання похідних для дослідження функцій та побудови їх графіків
-
Приклади для розв’язування
1. Поняття похідної функції.
Нехай задана функція визначена на відрізку .
Візьмемо два значення та з області визначення функції.
Різниця двох значень аргументу називається приростом аргументу:
і значення функції в точках та .
Різниця двох значень функції називається приростом функції:
.
Границя відношення приросту функції до приросту аргумента, якщо останній прямує до нуля, називається похідною функції в точці :
2. Фізичний зміст похідної:
-
Миттєва швидкість нерівномірного прямолінійного руху є похідна від функції, яка виражає залежність пройденого шляху від часу :
-
Сила струму є похідна від функції, яка виражає залежність кількості електрики , яка протікає за час : якщо , то .
-
Кутова швидкість обертання тіла навколо осі є похідна від функції, яка виражає залежність кута повороту тіла відносно осі від часу :
якщо , то .
-
Лінійна густина матеріальної лінії в даній точці є похідна від функції, яка виражає залежність маси від довжини цієї лінії:
якщо , то
-
Теплоємність тіла при даній температурі є похідна від функції, яка виражає залежність кількості тепла від температури :
якщо , то .
-
Швидкість хімічної реакції є похідною від функції, яка виражає залежність кількості речовини , яка вступила в реакцію від часу :
якщо , то
3. Геометричний зміст похідної.
Граничне положення січної при прямуванні точки до точки
по кривій називають дотичною до кривої в точці М
Нехай крива, задана рівнянням , має дотичну в точці М (х, у).
Геометричний зміст похідної функції в певній точці : похідна чисельно дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, проведеної до графіка функції у точці з абсцисою х:
4. Рівняння дотичної і нормалі до плоскої кривої.
Нехай функція у = f (t) означена і неперервна на деякому проміжку [a; b]..
Рівняння дотичної:
де - значення функції в точці
Нормаллю до графіка функції в точці М0 називається перпендикуляр, проведений до дотичної в цій точці.
Рівняння нормалі:
Приклад. Знайти рівняння дотичної та нормалі до графіка функції у = х2 у точці з абсцисою х0 = – 3.
-
знаходимо похідну від заданої функції ;
-
знаходимо значення похідної в точці х0 = – 3: ;
-
знаходимо значення функції в точці х0 = – 3: .
-
рівняння дотичної запишеться так:
-
рівняння нормалі запишеться так:
5. Основні правила диференціювання.
Якщо та - деякі диференційовані функції, то
6. Таблиця похідних
7. Похідна складної функції
-
Загальна схема побудови графіків функцій:
-
Знайти область визначення функції.
-
Дослідити функцію на парність та непарність.
-
Визначити точки перетину з осями координат ( якщо це не викликає труднощів).
-
Знайти асимптоти графіка функцій:
Вертикальна асимптота: х=а, за умови, що
Похила асимптота , де ,
-
Знайти проміжки монотонності та точки екстремуму функції:
-
Знайти похідну функції
-
Прирівняти похідну до нуля та знайти можливі точки екстремуму функції( похідна в цих точках дорівнює нулю або не існує)
-
Визначити знак похідної на кожному з проміжків:
Знайти проміжки опуклості та точки перегину.
-
Знайти другу похідну
-
Прирівняти її до нуля та знайти точки перегину: .( похідна в цих точках дорівнює нулю або не існує)
-
Визначити напрям опуклості:
Побудувати графік функції, використовуючи результати дослідження.