2. Теореми про границі.

Якщо кожна з функцій і має скінченну границю при , то справедливі формули:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

3. Правила обчислення границь.

1. Якщо функція дробово – раціональна, то для знаходження границі чисельник і знаменник розкладають на множники, які потім скорочують, причому скоротитись повинен той множник, який обертається в нуль.

2. Якщо чисельник функції – стала величина, а границя знаменника дорівнює нулю, то границя такої функції є нескінченність.

3. Якщо функція містить знаки радикалів, то чисельник і знаменник помножають на вираз, спряжений до чисельника (знаменника), а потім застосовують формулу різниці квадратів. Вирази та називаються спряженими.

4. Якщо функція містить корінь третього степеня, то чисельник і знаменник помножають на неповний квадрат суми або різниці, а потім застосовують формулу суми або різниці кубів.

4. Границя функції на нескінченності.

Границею на нескінченності називається число, до якого прямує значення функції, якщо аргумент нескінченно зростає.

1. Границя функції, яка представляє собою многочлен, при є нескінченність.

2. Границя на нескінченності дробово – раціональної функції, у якої степінь чисельника і знаменника однакові дорівнює відношенню коефіцієнтів при старших членах.

3. Границя на нескінченності дробово – раціональної функції, у якої степінь чисельника менша за степінь знаменника, дорівнює нулю.

4. Границя на нескінченності дробово – раціональної функції, у якої степінь чисельника більша за степінь знаменника, дорівнює нескінченності.

5.Дослідження функції на неперервність.

Функція називається неперервною в точці , якщо вона в цій точці визначена і нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції: .

Функція називається неперервною в точці ,якщо виконуються слідуючи умови:

1. функція визначена в точці ;

2. існує границя функції в точці ;

3. значення функції в точці співпадає із значенням границі в точці .

Число А називається границею функції справа при , , якщо функція визначена у правому - околі точки , і для будь – якого знайдеться таке , що для всіх , взятих з інтервалу виконується нерівність .

Позначають

Число А називається границею функції зліва при , , якщо функція визначена у лівому - околі точки , і для будь – якого знайдеться таке , що для всіх , взятих з інтервалу виконується нерівність .

Позначають

Функція називається неперервною в точці ,якщо виконуються слідуючи умови:

1. функція визначена в точці і в деякому околі цієї точки;

2. існують односторонні границі і ;

3. односторонні границі рівні між собою і дорівнюють значенню функції в точці .