4. Розв’язання систем лінійних рівнянь за формулами Крамера

Для системи n лінійних рівнянь з n невідомими (над довільним полем)

з визначником матриці системи Δ, що не рівний нулеві, розв'язок записується у такому вигляді:

(i-й стовпчик матриці системи замінюється стовпчиком вільних членів).

Іншим чином правило Крамера формулюється так: для будь-яких коефіцієнтів c1, c2, …, cn виконується рівність:

У такій формі формула Крамера справедлива без припущення, що Δ не рівне нулю.

Приклад:

Визначники:

5. Приклади для розв’язування.

І. Визначте координати векторів:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

2. Відомі координати точок

А(4; -3; 2), В(-2; 4; -3), М(0; 5; 1) та N(-4; 0; -3). Знайдіть координати векторів, , , їх модулі та косинус кута між ними.

3. Відомі координати векторів . Знайдіть координати та модулі векторів:

1. + ;

2. + ;

3. + - ;

4. 3;

5. - +2;

6. 2 +3 - 2 ;

4. Користуючись умовою колінеарності двох векторів, перевірте, чи колінеарні вектори:

1. (2/5; -1/3; 4/5) та (3/5; - 1/2; 6/5)

2. (-6; 1/3; 3) та (-2; 1/9; -1/3)

5. За яких значень n та p вектори та будуть колінеарними?

1. (-3; n; 4) та (-2; 4; р)

2. (4; n; -4) та (р; -2; 1/2 )

6. Знайдіть периметр трикутника, вершини якого задані координатами

А(8; 0; 6), В(8; -4; 6), С(6; -2; 5). Визначте вид трикутника.

7. Відрізок АВ заданий координатами кінців А(4; 2; -3) та В(6; -4; -1). Знайдіть координати точки С, яка ділить відрізок:

1. навпіл;

2. у співвідношенні 1:3;

3. у співвідношенні 2:5;

8. Доведіть, що чотирикутник з вершинами А(1; 4; 3), В(2; 3; 5), С(2; 5; 1) та D(3; 4; 3) – паралелограм.

10. Обчислити кути нахилу до осі Ох прямих: , , .

11. Скласти рівняння прямої,яка проходить через початок координат, якщо кутовий коефіцієнт дорівнює 1; 2: -1: 4.

12. Скласти рівняння прямої, яка проходить через початок координат і утворює з віссю Ох кут: , , .

13. Знайти кутові коефіцієнти прямих, заданих рівняннями: , , .

14. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку А і перпендикулярна вектору :

    1. 

    2. 

    3. 

15. Скласти рівняння прямої, яка перетинає вісь Ох в точці , а вісь Оу – в точці .

16. Обчислити площу трикутника, який відтинається прямою від координатного кута.

17. При якому значенні задані прямі паралельні і перпендикулярні:

    1. 

    2. 

18. Дано . Знайти:

    1. рівняння сторін;

    2. довжини сторін;

    3. рівняння медіани АМ;

    4. довжину медіани АМ;

    5. рівняння висоти ;

    6. точку перетину медіани АМ і висоти ;

    7. ;

    8. зробити малюнок.

1. 

2. 

3.

4. 

9. Розв’язування систем лінійних рівнянь за формулами Крамера та методом Гауса.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.