Тема 8. Непрерывные коды

В этой теме рассматривается сверточное кодирование. Излагаемый учебный материал заимствован из монографии [6]. Ранее обсуждались осно­вы линейных блочных кодов, которые описываются двумя целыми числами, п и k, и полиномиальным или матричным генератором. Целое число к указывает на число бит данных, которые образуют вход блочного кодера. Целое число п — это суммар­ное количество разрядов в соответствующем кодовом слове на выходе кодера. Отношение k/n, называемое степенью кодирования кода (code rate), является мерой добавленной из­быточности. Сверточный код описывается тремя целыми числами п, к и К, при этом степень кодирования k/n имеет такое же значение информации, прихо­дящейся на закодированный бит, как и для блочного кода; однако п не определяет длину блока или кодового слова, как это было в блочных кодах. Целое число К яв­ляется параметром, называемым длиной кодового ограничения (constraint length). Важная осо­бенность сверточных кодов, в отличие от блочных, состоит в том, что кодер имеет память — n-кортежи, получаемые при сверточном кодировании, являются функци­ей не только одного входного k-кортежа, но и предыдущих К - 1 входных k-кортежей. На практике n и k — это небольшие целые числа, а К изменяется с целью контроля мощности и сложности кода.

8.1. Сверточное кодирование

На рис. 8.1. представлена типичная функциональная схема системы цифровой связи, относящаяся, в первую очередь, к сверточному кодирова­нию/декодированию и модуляции/демодуляции. Исходное сообще­ние на входе обозначается последовательностью m = т₁, т₂,..., m_i, ..., где m_i — двоичный знак (бит), a i — индекс времени, обозначающий время (или расположение элемента внутри последовательности). Мы будем предполагать, что все т_i, равновероятно равны единице или нулю и независимы между собой. Будучи не­зависимой, последовательность битов нуждается в некоторой избыточности, т.е. знание о бите m_i не дает никакой информации о бите m_j (при i≠ j). Кодер преобразует каждую по­следовательность m в уникальную последовательность кодовых слов U = G(m). Даже не­смотря на то что последовательность m однозначно определяет последовательность U, ключевой особенностью сверточных кодов является то, что данный k-кортеж внутри m не однозначно определяет связанные с ним n-кортежи внутри U, поскольку кодирование ка­ждого из k-кортежей является функцией не только k-кортежей, но и предыдущих К - 1 k-кортежей. Последовательность U можно разделить на последовательность кодовых слов: U = U₁,U₂,...,U_i,... . Каждое кодовое слово U_i, состоит из двоичных кодовых символов, часто называемых канальными символами, канальными битами, или битами кода; в отличие от би­тов входного сообщения, кодовые символы не являются независимыми.

В типичных системах связи последовательность кодовых слов U модулируется сиг­налом s(t). В ходе передачи сигнал искажается шумом, в результате чего, как показано на рис. 8.1, получается сигнал ŝ(t) и демодулированная последовательность Z= Z₁, Zг, ..., Zj, ... . Задача декодера состоит в получении оценки m = m_i,m₂,...,m_i,... исходной последовательности сообщения с помощью полученной последовательности Z и апри­орных знаний о процедуре кодирования.

Обычный сверточный кодер, показанный на рис. 8.2, реализуется с kK-разрядным регистром сдвига и п сумматорами по модулю 2, где К — длина кодового ограничения. Длина кодового ограничения — это количество k-битовых сдвигов, после которых один информационный бит может повлиять на выходной сигнал кодера. В каждый момент времени на место первых k разрядов регистра перемещаются k новых бит; все биты в регистре смещаются на k разрядов вправо, и выходные данные п сумматоров последовательно дискретизируются, давая, в результате, биты кода. Затем эти симво­лы кода используются модулятором для формирования сигналов, которые будут пере­даны по каналу. Поскольку для каждой входной группы из к бит сообщения имеется п бит кода, степень кодирования равна k/n бит сообщения на бит кода, где к < п.

Мы будем рассматривать только наиболее часто используемые двоичные сверточные кодеры, для которых к = 1, т.е. те кодирующие устройства, в которых биты сооб­щения сдвигаются по одному биту за такт, хотя обобщение на алфавиты более высоких порядков не вызывает никаких затруднений . Для кодера с к = 1, за i-й момент времени бит сообщения m, будет перемещен на место первого разряда регистра сдви­га; все предыдущие биты в регистре будут смещены на один разряд вправо, а выход­ной сигнал п сумматоров будет последовательно оцифрован и передан. Поскольку для каждого бита сообщения имеется п бит кода, степень кодирования равна 1/n. Имею­щиеся в момент времени t_i п кодовых символов составляют i-e кодовое слово ветви, Ui=u_1i,u_2i,...,u_ni,где u_ji (j = 1, 2, ..., n) — это j-й кодовый символ, принадлежащий i-му кодовому слову ветви. Отметим, что для кодера со степенью кодирования 1/n, кК-разрядный регистр сдвига для простоты можно называть K-разрядным регистром, а длину кодового ограничения К, которая выражается в единицах разрядов k-кортежей, можно именовать длиной кодового ограничения в битах.