8.2.1.1. Реакция кодера на импульсное возмущение

Мы можем описать кодер через его импульсную характеристику, т.е. в виде отклика кодера на единичный проходящий бит. Рассмотрим содержимое регистра (рис. 8.3) при прохождении через него двоичной единицы.

Содержимое регистра кодера и формирование выходной последовательности при входной последовательности 1 0 0 … представляется следующей таблицей:

Предположим теперь, что вектор сообщения m = 1 0 1 закодирован с использовани­ем сверточного кода и кодера, показанного на рис. 8.3. Введены три бита сообще­ния, по одному в момент времени t₁ ,t₂ и t₃, как показано на рис. 8.4. Затем для очистки регистра в моменты времени t₄ и t₅ введены (К - 1) = 2 нуля, что в результа­те приводит к смещению конечного участка на всю длину регистра. Последователь­ность на выходе выглядит следующим образом: 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1, где крайний левый символ представляет первую передачу. Для декодирования сообщения нужна полная последовательность на выходе (включающая кодовые символы). Для удаления со­общения из кодера требуется на единицу меньше нулей, чем имеется разрядов в регистре, или К - 1 очищенных бит.

В момент времени t₆ показан нулевой выход, это должно дать читателю возможность убедиться в том, что в момент времени t₅ регистр устанавливается в исходное состояние. Таким образом, в момент времени t₆ уже можно передавать новое сообщение.

Последовательность на выходе при единице на входе называется откликом кодера на импульсное возмущение, или его импульсной характеристикой. Для входной последо­вательности m = 1 0 1 данные на выходе могут быть найдены путем суперпозиции или линейного сложения смещенных во времени входных "импульсов".

Обратим внимание на то, что эти данные на выходе такие же, как и на рис. 8.4, что указывает на линейность сверточных кодов — точно так же как и в блочных кодах. Название сверточный кодер (convolutional encoder) возникло именно вследст­вие этого свойства генерации данных на выходе кодера с помощью линейного сложения (или свертки) смещенных во времени импульсов входной последовательности m с импульс­ной характеристикой кодера. Сверточные коды и сверточные кодеры описываются с помощью порождающей мат­рицы сверточного кода бесконечного порядка:

G = ,

в которой строки являются импульсной характеристикой и ее циклическими сдвигами. Пустые ячейки в представленной матрице G заполнены нулями. Выходная последовательность u вычисляется по порождающей матрице G и входной последовательности m по правилам умножения матриц

u = m G.

Данное выражение является матричной формой процедуры дискретной свертки.

8.2.1.2. Полиномиальное представление

Связи кодера описываются с помощью порождающего многочлена (генератора), аналогичного используемому для описания реализации обратной связи регистра сдвига циклических кодов. Сверточный кодер можно представить в виде набора из п порождающих многочленов, по одному для каждого из п суммато­ров по модулю 2. Каждый многочлен имеет степень К - 1 или меньше и описывает связь кодирующего регистра сдвига с соответствующим сумматором по модулю 2. Коэффициенты возле каждого слагаемого равны либо 1, либо 0, в зависимости от того, имеется ли связь между регистром сдвига и сумматором по модулю 2. Для кодера на рис 8.3 можно записать порождающий многочлен g₁ (X) для верхних связей и g₂(X) — для нижних:

g₁(X) = 1 + X + X²,

g₂(X) = 1 + X².

Здесь слагаемое самого нижнего порядка в полиноме соответствует входному разряду регистра. Выходная последовательность находится следующим образом:

U(X) = m(X)g₁(X) чередуется с m(X)g₂(X)

Прежде всего, выразим вектор сообщения m = 1 0 1 в виде многочлена, т.е. т(Х) = 1 + X². Для очистки регистра мы снова будем предполагать использование нулей, следующих за битами сообщения. Тогда выходящий многочлен U(X), или выходящая последова­тельность U кодера (рис. 8.3) для входного сообщения m может быть найдена сле­дующим образом:

В этом примере мы начали обсуждение с того, что сверточный кодер можно тракто­вать как набор регистров сдвига циклического кода. Мы представили кодер в виде порождающих многочленов, с помощью которых описываются циклические коды. Однако мы пришли к той же последовательности на выходе, что и на рис. 8.4, и к той же, что и в предыдущем разделе, полученной при описании реакции на импульсное возмуще­ние.