12.6. Выбор порождающего многочлена

Выбор порождающего многочлена для найденного оптимального кода основывается на вычисленных значениях и . Для выбора g(x) используется таблица кодов, приведенная в приложении. В этой таблице для кодов БЧХ естественной длины n = 2^l – 1, где l = 4...10, приводятся значения k, d, сомножители g(x) в виде набора неприводимых многочленов f_i(x), степень каждого f_i(x) и минимальная степень последовательности корней каждого из сомножителей -. Индекс i неприводимого многочлена f_i(x) возрастает с увеличением минимальной степени в последовательности корней. Например f₁(x) – неприводимый многочлен, последовательность корней которого содержит степени 1; f₂(x) – соответствует многочлену с последовательностью корней, содержащей минимальную степень, не вошедшую в последовательность для f₁(x) и т. д. Из приведенных в таблице сомножителей порождающие многочлены циклических кодов можно получить следующим образом: g₁(x)=f₁(x), .

При этом степень g(x) должна соответствовать параметру (n-k) соответствующего кода. Такой метод составления порождающих многочленов позволяет построить циклические коды, у которых минимальное кодовое расстояние увеличивается по меньшей мере на 2 при увеличении числа сомножителей порождающего многочлена на 1.

В целях сокращения записи все многочлены указаны в восьмеричном представлении:

0 = 000

1 = 001

2 = 010

3 = 011

4 = 100

5 = 101

6 = 110

7 = 111

Коэффициенты многочленов в двоичной записи располагаются в порядке убывания, т.е. коэффициенты при слагаемом высшего порядка расположены слева. Например, число 2415 обозначает многочлены в двоичной записи:

010100001101. Учитывая, что старшая степень находится слева, имеем

f(x) = x¹⁰ + x⁸ + x³ + x² +1.

Знание степени неприводимого многочлена и минимальной степени последовательности его корней позволяет найти всю последовательность корней для каждого многочлена g(x) в таблице. Для этого используется известное правило: Если – корень f(x), то и также его корень.

Надо помнить, что степени приводятся по mod n, где n – длина кодовой комбинации. Для приведенного многочлена и вся последовательность его корней имеет вид:

.

Если найденный оптимальный код отсутствует в таблице в явном виде, то следует его искать среди укороченных кодов (n–i, k–i). При этом надо ориентироваться на число (n–k), а i определить из выражения . Для этого выбираются табличные коды длины n_т, для которых .

Например, по результатам расчетов найден оптимальный код с параметрами , т.е.. По исходным данным l=5.

Для окончательного решения по параметрам кода необходимо, чтобы n и k были кратны 5, т.е. (n–k) может быть либо 10, либо 15. Следует проверить по условию возможность использования . Если это возможно, то решением будет код (80,70). Если же проверка покажет, что (n–k) должен быть больше 10, то следует выбрать код (80,65).

В первом случае g(x) должен иметь степень 10, во втором – 15. В любом случае следует выбирать такой порождающий многочлен, который обеспечивает. Приемлемым решением является d=4, но если при том же (n–k) можно найти значение g(x), обеспечивающее большее d, то надо выбирать g(x) c большим d.

Для нашего примера с n=80 следует рассматривать коды с длиной n_т от 127 и выше, ориентируясь на (n–k). Для решение можно найти, если выбрать f₁(x) девятой степени, домножив его на (x+1). В этом случае , т.е. f₁(x)= x⁹ + x⁴ + 1, а .

Последовательность степеней корней выбранного g(x) включает:

. В этой последовательности три степени идут подряд, что позволяет сделать вывод, что d_min такого кода равно 4. Итак, код (80,70) является укорочением кода (511,501).

Порождающий многочлен кода (80,65) можно представить как произведение многочленов седьмой степени 211 и 217 и многочлена x+1.

Итак, для кода (80,65):

Его последовательность корней равна:

.

Здесь подряд идут степени т.е. d_min=6. Код (80,65) является укорочением кода (127,112).