8.4.1.1. Возможности сверточного кода в коррекции ошибок

При изучении блочных кодов говорилось, что способность кода к кор­рекции ошибок, t, представляет собой количество ошибочных кодовых символов, ко­торые можно исправить в каждом блоке кода путем декодирования по методу мак­симального правдоподобия. В то же время при декодировании сверточных кодов способность кода к коррекции ошибок нельзя сформулировать так лаконично. Можно сказать, что при декодировании по принципу максималь­ного правдоподобия код способен исправить t ошибок в пределах нескольких длин кодового ограничения, причем "несколько" — это где-то от 3 до 5. Точное значение длины зависит от характера распределения ошибок.

8.4.2. Систематические и несистематические сверточные коды

Систематический сверточный код — это код, в котором входной k-кортеж фигурирует как часть выходного n-кортежа кодового слова, соответствующего этому k-кортежу. На рис. 8.17 показан двоичный систематический кодер со степенью кодирования 1/2 и К = 3. Для линейных блочных кодов любой несистематический код можно преобра­зовать в систематический с такими же пространственными характеристиками блоков. При использовании сверточных кодов это не так. Причина в том, что сверточные ко­ды сильно зависят от просвета; при построении сверточного кода в систематической форме при данной длине кодового ограничения и степени кодирования максимально возможное значение просвета снижается.

В табл.8.1 показан максимальный просвет при степени кодирования 1/2 для сис­тематического и несистематического кодов с К от 2 до 8. При большой длине кодо­вого ограничения результаты отличаются еще сильнее .

8.4.3. Распространение катастрофических ошибок в сверточных кодах

Катастрофическая ошибка возникает, когда конечное число ошибок в кодовых симво­лах вызывает бесконечное число битовых ошибок в декодированных данных. Мэсси (Massey) и Сейн (Sain) указали необходимые и достаточные условия для сверточного кода, при которых возможно распространение катастрофических ошибок. Условием распространения катастрофических ошибок для кода со степенью кодирования 1/2 является на­личие у порождающих многочленов общего полиномиального множителя (степени не менее едини­цы). Например, на рис. 8.18, а показан кодер с К = 3, степенью кодирования 1/2, со старшим многочленом g₁(X) и младшим g₂(X):

g₁(X) = 1 + X,

g₂(X) = 1 + X².

Многочлены g₁(X) и g₂(X) имеют общий множитель 1 + X, поскольку

1 + X² = (1 + X)(1 + X).

Следовательно, в кодере, показанном на рис. 8.18, а, может происходить распростра­нение

катастрофической ошибки.

Если говорить о диаграмме состояний кода произвольной степени кодирования, то катастрофическая ошибка может появиться тогда и только тогда, когда любая петля пути на диаграмме имеет нулевой весовой коэффициент (нулевое расстояние до нуле­вого пути). Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим пример, приведенный на рис. 8.18 На диаграмме (рис. 8.18, б) узел состояния а =00 разбит на два узла, а и е, как и ранее. Допустим, что нулевой путь является правильным, тогда неправильный путь a b d d ... d с e имеет точно 6 единиц, независимо от того, сколько раз мы обой­дем вокруг петли в узле d. К выбору этого непра­вильного пути могут привести три канальные ошибки. На таком пути может появиться сколь угодно большое число ошибок (две плюс количество раз обхода петли). Для кодов со степенью кодирования 1/n можно видеть, что если каждый сумматор в кодере имеет четное количество соединений, петли, которые соответствуют информа­ционным состояниям со всеми единицами, будут иметь нулевой вес, и, следовательно, код будет катастрофическим.

Единственное преимущество описанного ранее систематического кода заключается в том, что он никогда не будет катастрофическим, поскольку каждая петля должна содер­жать по крайней мере одну ветвь, порождаемую ненулевым входным битом; следова­тельно, каждая петля должна содержать ненулевой кодовый символ. Впрочем, можно показать ,что только небольшая часть несистематических кодов (исключая тот, в ко­тором все сумматоры имеют четное количество соединений) является катастрофической.