Пример 7.1

Рассмотрим, какие РС-коды можно построить над расширенным полем GF(2²). Определяем длину кодовой комбинации: N q–1=3. Зададимся кодовым расстоянием D=2. Для его реализации необходима избыточность N–K=D–1=1. Если необходимо обеспечить D=3, то следует задать избыточность N–K=2.

Таким образом, над GF(2²) можно построить РС-коды (3,2) с D=2 и (3,1) с D=3. Для РС-кода (3,2) порождающий многочлен на основании определения РС-кода равен

g(x) = x – α

GF(2²) является расширением поля GF(2), поэтому знак «–» в g(x) следует заменить на «+» как символ операции сложения в GF(2), т.е. следует принять g(x) = x + α.

Порождающая матрица этого кода имеет вид:

.

РС-код (3,2) над GF(2²) содержит q^k=4²=16 разрешенных комбинаций. Они имеют вид:

Каждая комбинация представляет собой многочлен степени 2 или менее. Выше указаны последовательности коэффициентов каждой из кодовых комбинаций в предположении, что коэффициенты старших степеней находятся справа, т.е. информационные элементы занимают две позиции справа, а избыточный элемент – крайнюю слева.

Например, комбинация 1 представляется многочленом: α+x, комбинация 2 – α²+αx, …, комбинация 4 - αx+x^2,…, комбинация 14 – α²+α²x+α²x².

Проследим формирование избыточных элементов для комбинаций 1 и 14.

Комбинация 1: информационные элементы имеют вид – х, следовательно,

x x+α

x+α 1

α - остаток, т.е. избыточный элемент.

Комбинация 14: информационные элементы имеют вид – α²x+α²x², следовательно,

α²x²+α²x x+α

α²x²+α³x α²x+α

α³x+α²x=x+α²x=αx

αx+α²

α²- остаток, т.е. избыточный элемент.

При выполнении действий над элементами поля GF(2²) полезно помнить, что оно построено по модулю неприводимого примитивного многочлена П(α)=1+α+α²⁼0. Ниже представлены все ненулевые элементы этого поля, являющиеся корнями многочлена x³+1:

α⁰=α³=10=1,

α¹=01=α,

α²=11=1+α.

РС-код (3,1) над полем GF(2²) с D=3 содержит 4 комбинации, каждая из которых содержит трехкратное повторение одного из элементов GF(2²):

0 0 0, 1 1 1, α α α, α² α² α².

Справедливость этого утверждения проверить самостоятельно.

Пример 7.2

Построим РС-код над простым полем GF(5) с длиной кодовой комбинации N=4 и минимальным кодовым расстоянием D=3. Поле GF(5) своими элементами имеет 0, 1, 2, 3, 4. Покажем, что примитивным элементом этого поля является α = 2:

2⁰=1;

2¹=2;

2²=4;

2³=8–5∙1=3;

2⁴=16–5∙3=1=2⁰.

Мы убедились, что четыре последовательные степени 2 дают все ненулевые элементы GF(5) и ее порядок e равен 4. Это доказывает, что α=2– примитивный элемент. Находим порождающий многочлен, степень которого должна быть N–K=D–1=2. Для этого составляем произведение

g(x)=(x–α)(x–α²)=(x–2)(x–4)=x²–6x+8=x²+(–6+5∙2)x+(8–5∙1)=x²+4x+3.

РС-код (4,2) над GF(5) всего имеет q^k=5²=25 кодовых комбинаций.

Построим порождающую матрицу этого кода, взяв в качестве ее строк g(x) и его сдвиг:

.

Рассмотрим наиболее важные свойства PC-кодов.

7.1.1. Расширенные рс-коды

Как известно из теории групповых кодов, введение в кодовой комбинации дополнительной проверки на четность во многих случаях увеличивает минимальное расстояние кода на одну единицу. Для РС-кодов это явление наблюдается всегда [3]. Пусть C=c₀, c₁, …, c_N–1 кодовая комбинация РС-кода с весом D. Введем дополнительную проверку на четность по правилу

.

Покажем, что минимальный вес кодовой комбинации C при 1-расширении увеличивается до D+1. Это возможно при условии, что

,

но C(x) = a(x)g(x) для некоторого a(x), так что C(1)=a(1)g(1). Очевидно g(1)0. Кроме того a(1)0, иначе C(x) делилось бы на (x–1)g(x), т.е. уже имело бы вес D+1.