3. Ряды и рекуррентные последовательности

Внимание! Все программы этого раздела должны быть выполнены без использования массивов!

23. Дано натуральное число n (n ? 100). Вычислить:

1. 2ⁿ;

2. n! (! – факториал: 2!=1•2, 5! = 1•2•3•4•5);

3. sin sin ... sin x (всего n синусов)

4. sin (2 + sin (2 + sin (2 + ...)...))) (всего n синусов)

24. Даны действительное число a, натуральное число n. Вычислить:

1. aⁿ;

2. a(a+1) ... (a+n–1);

3. sin a + sin a² + ... + sin aⁿ ;

25. Дано целое число m>1. Получить наибольшее целое k, при котором 4^k<m.

26. Дано натуральное число n. Вычислить 1•2 + 2•3•4 + ... + n(n+1)...2n

27. Пусть n – натуральное число и пусть n!! означает 1•3•5•...•n для нечетного n и 2•4•6•...•n для чётного n. Для заданного n вычислить n!!.

28. Даны: натуральное число n, действительные числа a₁, a₂, ..., a_n. Вычислить:

1. a₁ + a₂ + ... + a_n ;

2. их среднее арифметическое ;

3. |a₁| + |a₂| + ... + |a_n| ;

4. a₁² + a₂² + ... + a_n² ;

5. a₁ – a₂ + a₃ – ... + (-1)ⁿ⁺¹ a_n ;

6. sin |a₁ + a₂ + ... + a_n| .

29. Найти 35 элемент последовательности Фибоначчи.

30. Даны: натуральное число n, действительные числа a₁, a₂, ..., a_n. В последовательности a₁, a₂, ..., a_n определить число соседств:

1. двух положительных чисел;

2. двух чисел разного знака;

3. двух чисел одного знака;

4. двух чисел разного знака, причем модуль отрицательного числа больше модуля положительного числа.

31. Даны целые числа c₁,c₂,...,c₁₈. Имеется ли в последовательности c₁,c₂,...,c₁₈:

1. два идущих подряд нулевых члена ;

2. три идущих подряд нулевых члена ;

3. три идущих подряд одинаковых членов ?

32. Даны: натуральное число n, действительные числа a₁, a₂, ..., a_n. Найти в этой последовательности максимальный элемент.

33. Даны: натуральное число n, действительные числа a₁, a₂, ..., a_n. Определить, является ли эта последовательность упорядоченной по возрастанию.

34. Дано натуральное число n. Получить все его натуральные делители.

35. Дано натуральное число n. Полу­чить все такие натуральные q, что n делится на q² и не делится на q³.

36. Дано натуральные числа m, n. Получить все их натуральные общие кратные, меньшие mn.

37. Дано целые числа m, n. Получить все их общие делители (и положи­тель­ные, и отрицательные).

38. Дано натуральные числа m, n. Вычислить: m! + n!.

39. Пусть a₁ = 1 ;

a₂ = 3 ;

a_k = a_k–1 – a_k–2 , k = 3, 4, ..., 20.

Найти:

1. двадцатый член этой после­довательности ;

2. суммму всех членов этой по­сле­довательности ;

3. сумму: a₁ + a₃ + a₅ + ... + a₁₉ ;

4. сумму: a₁₀ + a₁₁ + a₁₂ + ... + a₂₀ ;

5. модуль разницы между сум­мой членов последователь­ности с чётными номерами и суммой членов последователь­ности с нечётными номерами ;

6. модуль разницы между сум–мой чётных членов последовательности и суммой нечётных членов последовательности.

40. Пусть

a₀ = cos² 1 ; a₁ = - sin² 1 ; a_k = 2a_k-1 – a_k-2 , k = 2, 3, ... .

Найти сумму квадратов тех чисел a₁, a₂, ..., a_n, которые меньше двух.

41. Получить таблицу температур по Цельсию от 0 до 100 градусов и их эквивалентов по шкале Фаренгейта, используя для перевода формулу

t_F = (9/5) t_C + 32

4. Работа со строками

42. Дана строка символов. Подсчитать:

1. Сколько раз в строке встречается символ + и сколько раз символ *.

2. Общее число вхождений символов +, –, * в данной строке.

43. Дана строка символов. Подсчитать, сколько раз среди символов строки встречается буква x.

44. Дана строка символов. Заменить в ней:

1. все восклицательные знаки точками ;

2. запятые на точки, а точки на запятые ;

3. каждую точку многоточием (то есть тремя точками) ;

4. каждую из групп стоящих рядом точек одной точкой.

45. Дана строка символов. Выяснить, имеется ли в ней такой символ, равный запятой, что следующий за ним символ – тире.

46. Дана строка символов, в которой есть хотя бы одна запятая. Найти номер первой и последней запятой.

47. Дана строка символов. Исключить из неё все группы символов, расположенные между скобками (, ). Сами скобки тоже нужно исключить.

48. Дана строка символов, в которой есть хотя бы одна точка. Преобразуйте её, удалив все запятые, предшествующие первой точке и заменив знаком + все цифры 3, встречающиеся после первой точки.

49. Дана строка символов. Преобразуйте её, удалив все пробелы вначале и конце строки, а также заменив все группы пробелов внутри строки одним пробелом.

50. Дана строка символов. Группы символов, разделённые пробелами (одним или несколькими) и не содержащие пробелов внутри себя, будем называть словами.

1. Подсчитать количество слов в данной строке.

2. Подсчитать количество букв а в последнем слове данной строки .

3. Найти количество слов, начинающихся с буквы b.

4. Найти количество слов, где первый и последний символ совпадают.

5. Найти первое слово, начинающиеся с буквы f.

6. Найти первое слово, начинающиеся с цифры.

7. Найти первое слово, внутри которого есть хоть одна цифра.

8. Найти длину самого длинного слова.

9. Найти длину самого короткого слова.