1.6. Системы счисления

Под системой счисления принято понимать совокупность приёмов обозначения (записи) чисел с помощью заданного набора специальных знаков, символов и правил выполнения арифметических операций. Существуют позиционные, непозиционные и смешанные системы счисления.

В непозиционной системе счисления значение каждого символа определено однозначно и не зависит от занимаемой им позиции в записи числа. В непозиционных системах счисления каждому числу соответствует свой знак и вне зависимости от занимаемой позиции в записи числа он всегда равен этому числу. Например, римская система счисления. Там: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000. Для записи тысяч используется только буква M, когда в позиционной системе счисления единица может обозначать и одну тысячу, и одну единицу, и т.д.. В римской системе счисления приняты особые правила записи чисел, которые не вписываются в стандартные правила позиционных систем. Непозиционными были системы счисления у древних египтян, греков. Они были более - менее пригодны для выполнения операций сложения и вычитания, но совсем не удобны для умножения и деления.

Наиболее совершенными являются позиционные системы счисления, т.е. системы счисления, в которых значение каждого символа в записи числа, его "вес" определяется той позицией, которую занимает этот символ в записи числа, например: в десятичной системе счисления все символы "2" в записи числа 2222222 имеют разные значения.

В информатике чаще всего применяются двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. Название позиционной системы счисления определяется количеством различных символов, применяемых в данной системе счисления; напр., в десятичной системе счисления используется десять арабских цифр 0,1,...9, в двоичной - две цифры 0 и 1. Все используемые в данной системе счисления символы называются базисом.

Основанием позиционной системы счисления является число, определяемое названием данной системы счисления, например, основанием десятичной системы счисления является число 10, основанием двоичной системы счисления – число 2.

Любое число (S_n S_n-1...S₁ S₀) любой позиционной системы счисления можно записать в следующем виде.

S_n^.gⁿ + S_n-1^.g^n-1 + ... + S₁^.g¹ + S₀^.g⁰ ,

где S с индексами - символы рассматриваемого числа (цифры), g - основание данной системы счисления.

Например, число 54637 (S₄S₃S₂S₁S₀) восьмиричной системы счисления можно представить в виде:

S₄^.g⁴ + S₃^.g³ + S₂^.g² + S₁^.g¹ + S₀^.g⁰ = 5^.8⁴ + 4^.8³ + 6^.8² + 3^.8¹ + 7^.8⁰ = 22943.

1.7. Арифметические действия с двоичными числами

Двоичная система счисления получила широкое распространение с появлением ЭВМ. Как мы уже знаем, любое число в этой системе представляется в виде последовательности нулей и единиц. Это позволяет достаточно просто организовать хранение и переработку информации, представленной в двоичном виде. Например, для того, чтобы различать цифры в такой системе, достаточно иметь устройство, обладающее двумя устойчивыми состояниями, одно из которых соответствует единице, другое - нулю. (Для сравнения: аналогичная задача в десятичной системе счисления требует устройства с десятью различными устойчивыми состояниями). Другим важным достоинством двоичной системы счисления является простота вычислений.

Выполнение арифметических действий над числами в двоичной системе, как и в любой другой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, что и в десятичной.

ПРАВИЛА СЛОЖЕНИЯ: ПРАВИЛА ВЫЧИТАНИЯ:

0 + 0 = 0, 0 - 0 = 0,

0 + 1 = 1, 1 - 0 = 1,

1 + 0 = 1, 1 - 1 = 0,

1 + 1 = 10. 10 - 1 = 1.

ПРИМЕРЫ: ПРИМЕРЫ:

1010111 1100111 1010100 1100101

+ 11011 + 11110 - 10110 - 11011

1110010 10000101 111110 1001010

ПРАВИЛА УМНОЖЕНИЯ: ПРИМЕРЫ:

0 * 0 = 0, 11001 11011

0 * 1 = 0, * 1001 * 101

1 * 0 = 0, + 11001 + 11011

1 * 1 = 1. 00000 00000

00000 11011 _

11001 10000111

11100001

Умножение в двоичной системе счисления сводится к суммированию нескольких двоичных слагаемых.

ПРАВИЛА ДЕЛЕНИЯ: ПРИМЕРЫ:

0 : 1 = 0 _11011  11 _1111  101

1 : 1 = 1 11 1001 101 11

_011 _101

11 101

0 0

В основе операции деления лежит процесс сравнения делителя с остатком, полученным на каждом шаге алгоритма и сведение этой операции к вычитанию.

Отметим недостаток, характерный для двоичной системы счисления - значительный рост числа разрядов, необходимых для изображения чисел. Например, двузначное десятичное число 22 в двоичной системе счисления имеет вид 10110, т.е. для его изображения требуется уже 5 разрядов. Но перечисленные выше достоинства двоичной системы делают этот недостаток не столь существенным.