Развитие методов статистической механики

В процессе развития методов статистической механики сформировалось понятие о фазовом пространстве – 6N-мерном пространстве координат статистической системы (N – количество частиц, составляющих систему), обладающей 3N степенями свободы, в котором координатами служат 3N пространственных координат x_i и 3N соответствующих им компонент импульсов p_i . Каждому микроскопическому состоянию системы отвечает некоторая точка в фазовом пространстве. С течением времени микросостояние системы изменяется и изображающая его точка описывает в фазовом пространстве фазовую траекторию. Вероятность того, что система находится в микроскопическом состоянии, фазовая точка которого принадлежит элементу объема фазового пространства равна

(12.31)

где функция f, играющая роль плотности вероятности, именуется в статистической механике функцией статистического распределения.

Зная функцию статистического распределения, можно определить среднее значение любой функции координат и импульсов , характеризующей равновесное состояние системы:

(12.32)

Таким образом, основной задачей статистической механики стало нахождение функции статистического распределения системы в состоянии равновесия. Для нахождения функции статистического распределения необходимо наблюдать изменение координат системы в фазовом пространстве в течение очень значительного промежутка времени  (в пределе стремящегося к бесконечному), чтобы описывающая состояние системы фазовая точка успела неоднократно побывать в любом возможном элементе объема фазового пространства. Тогда среднее значение любой функции координат и импульсов может быть вычислено по формуле

Гиббс предложил другой способ вычисления средних величин. Он ввел понятие микроканонического ансамбля, т.е. набора большого количества одинаковых систем, состоящих из N частиц и характеризующихся одной и той же функцией статистического распределения. Очевидно, что в состоянии равновесия фазовые точки систем ансамбля будут распределены в фазовом пространстве в соответствии с функцией статистического распределения, причем со временем распределение ансамбля по элементам объема в фазовом пространстве не будет меняться. И Гиббс высказал существенное предположение, что среднее значение физической величины, которое ранее получали усреднением по времени вдоль фазовой траектории, равняется среднему по распределению ансамбля по элементам объема в фазовом пространстве в фиксированный момент времени:

Это предположение Гиббса осталось в истории физической науки под названием эргодической гипотезы. Независимо от Гиббса в 1871 году эргодическую гипотезу высказал и Больцман.

Классический период создания статистической механики завершился в 1901 году, когда Гиббс, используя микроканоническое распределение для замкнутой системы, получил свое знаменитое каноническое распределение для ансамбля одинаковых подсистем, входящих в эту замкнутую систему и находящихся в состоянии термодинамического равновесия с ней. Сегодня мы записываем каноническое распределение Гиббса в виде

(12.33)

где (E_r) – число возможных микросостояний подсистемы с энергией, лежащей в интервале между E_r и E_r +E_r . По образному выражению Ричарда Фейнмана, распределение Гиббса «является вершиной статистической механики; остальное ее содержание есть либо спуск с вершины, когда основные принципы применяются к частным вопросам, либо восхождение к ней, когда выводятся основные соотношения ... ».