Глава XI создание классической электродинамики

Джеймс Кларк Максвелл

Выходец из знатного шотландского рода, Максвелл с 1850 года обучался в Кембриджском университете – в знаменитом Тринити-колледже, воспитавшем Ньютона и многих других известных физиков, и который славился высоким уровнем преподавания математических дисциплин. Помимо математики Максвелл изучал механику, астрономию, физику. В учебных курсах, естественно, излагались господствующие тогда физические теории. Но Максвелл не оставлял без внимания и противоположные им учения, проявляя при этом большую самостоятельность. Ко времени окончания университета его научные интересы окончательно определились. 20 февраля 1854 года он сообщает Уильяму Томсону о своем намерении «атаковать электричество». Работу в этом направлении Максвелл начал с изучения «Экспериментальных исследований по электричеству» Фарадея. Этот труд покорил Максвелла своей глубиной и фундаментальностью. Учение Фарадея не только определило направление деятельности молодого Максвелла, но и привело его вскоре к величайшим открытиям столетия.

В 1854 году по окончании Кембриджского университета Максвелл был оставлен для преподавания в Тринити-колледже, а в 1856 году он получил профессуру в Абердинском университете. Его научная карьера, как впрочем и вся его жизнь, была короткой, но чрезвычайно плодотворной. В дальнейшем он являлся профессором Лондонского Королевского колледжа (1860 – 65), и с 1871 года – первым профессором экспериментальной физики в Кембридже. Под его руководством была создана знаменитая Кавендишская лаборатория в Кембридже, которую он возглавлял до конца своей жизни.

Начальные положения созданной Максвеллом электродинамики содержатся в его работе «О фарадеевых силовых линиях», написанной в Кембридже в 1855 – 56 гг. По характеру мышления Максвелл был геометром, поэтому ему была близка геометрическая модель Фарадея, который оперировал с электрическими и магнитными силовыми линиями. В работе «О фарадеевых силовых линиях» Максвелл построил гидродинамическую модель среды, передающей электрические и магнитные взаимодействия. Ему удалось описать стационарные процессы с помощью наглядной картины движущейся жидкости. Электрические заряды и магнитные полюса в этой картине представляют собой источники и стоки текущей жидкости. Адекватное описание процесса стационарного течения жидкости достигается применением математического аппарата векторного анализа, и Максвелл с его помощью, по образному выражению Милликена, «... облек плебейски обнаженное тело фарадеевских представлений в аристократические одежды математики».

Для описания электромагнитного поля, возникающего в пространстве вокруг проводников с током, Максвелл ввел три функции, которые он, следуя терминологии Фарадея, назвал электротоническими (Фарадею принадлежит предположение, что материя вокруг магнита или проводника с током находится в особом состоянии, которое он и назвал «электротоническим», т.е. электровозбужденным). В современных обозначениях эти функции представляют собой не что иное, как составляющие векторного потенциала . Криволинейный интеграл от этого вектора вдоль замкнутой кривой Максвелл называет «полной электротонической интенсивностью вдоль замкнутой кривой». Он формулирует правило, которому удовлетворяет эта величина: «Полная электротоническая интенсивность вдоль границы элемента поверхности служит мерой количества магнитной индукции, проходящей через этот элемент, или, другими словами, мерой числа магнитных силовых линий, пронизывающих данный элемент». В современных обозначениях это правило может быть выражено формулой:

(11.1)

где A_l – составляющая векторного потенциала в направлении элемента кривой dl; B_n – компонента вектора магнитной индукции нормальная к элементу поверхности dS.

Это есть не что иное, как широко известное сегодня соотношение, связывающее вектор магнитной индукции с векторным потенциалом . Действительно, применяя формулу Стокса

(11.2)

к соотношению (11.1), получаем

(11.3)

откуда следует условие соленоидальности магнитного поля:

(11.4)

Далее Максвелл пишет уравнение связи магнитной индукции с вектором напряженности магнитного поля:

(11.5)

Третий закон, формулируемый Максвеллом в этой работе, звучит так: «Полная магнитная интенсивность вдоль линии, ограничивающей какую-нибудь часть поверхности, служит мерой количества электрического тока, протекающего через эту поверхность». В современных обозначениях это утверждение описывается формулой

(11.6)

Она отражает экспериментальный факт, открытый Эрстедом: электрический ток вызывает в окружающем пространстве вихревое магнитное поле. Заметим, что в своей первой работе Максвелл еще не пришел к фундаментальному понятию тока смещения.

Наконец, приведем формулировку Максвелла для закона электромагнитной индукции: «Электродвижущая сила, действующая на элемент проводника, измеряется производной по времени от электротонической интенсивности ... ». В современных обозначениях этот закон выражается формулой

(11.7)

представляющей известное уравнение Максвелла в интегральной форме. Электродвижущей силой Максвелл называет циркуляцию вектора напряженности электрического поля . Он обобщает закон индукции Фарадея, считая, что изменение во времени магнитного потока порождает вихревое электрическое поле, существующее независимо от того, имеются или нет замкнутые проводники, в которых это поле возбуждает ток.

Следующий шаг в развитии теории электромагнитного поля Максвелл сделал в 1861 – 1862 гг., опубликовав ряд статей под общим названием «О физических силовых линиях». В этих работах были окончательно сформулированы уравнения Максвелла. Еще раз подчеркнем, что уравнения Максвелла являются основными уравнениями электродинамики; их невозможно вывести, как и законы Ньютона. Конечно, и уравнения Ньютона и уравнения Максвелла могут быть выведены из некоторых «первых принципов», которые приходится принимать без доказательства, но эти принципы, как и сами уравнения Максвелла или Ньютона, представляют собой обобщения опытных данных. По меткому выражению Генриха Герца, «теория Максвелла – это уравнения Максвелла».

Самым важным новшеством в этих работах Максвелла было введение понятий смещения и тока смещения. Смещение по Максвеллу – это характеристика состояний диэлектрика в электрическом поле. Полный поток смещения через замкнутую поверхность определяется алгебраической суммой зарядов, находящихся внутри этой поверхности:

(11.8)

Н

Рис. 25. К обоснованию необходимости введения понятия о токе смещения

еобходимость введения понятия тока смещения следовала из предположения о симметрии уравнений электродинамики. Всякое переменное магнитное поле вызывает вихревое электрическое поле. Можно было предположить, что должно существовать и обратное явление: всякое изменение электрического поля вызывает появление вихревого магнитного поля. Справедливость такого предположения следовала из самых общих соображений. Рассмотрим конкретный пример нестационарного процесса. Пусть в пространстве движется электрический заряд q (рис.25). Определим циркуляцию вектора напряженности магнитного поля вдоль некоторого контура L. Выберем две поверхности S₁ и S₂ , натянутые на контур L таким образом, что поверхность S₂ пересекается зарядом q в данный момент времени. Это значит, что поверхности S₂ можно сопоставить вектор плотности тока , отличный от нулевого, и, следовательно,

(11.9)

Однако для поверхности S₁ т.к. заряд ее еще не достиг, поэтому интеграл (11.9) по поверхности S₁ оказывается равным нулю. Высказанная Максвеллом гипотеза устраняла это противоречие. Согласно ей движущийся заряд q создает на поверхности S₁ изменяющееся электрическое поле , производная от которого, проинтегрированная по поверхности S₁, дает такое же значение для циркуляции как и интеграл по поверхности S₂. Поэтому Максвелл обобщает уравнение (11.6) и записывает его в виде

(11.10)

Величина получила название плотности тока смещения. Следует отметить, что этот термин не является удачным. Он имеет некоторое основание в случае диэлектриков, т.к. в них изменяющееся электрическое поле действительно приводит к смещению зарядов в атомах и молекулах. Однако понятие тока смещения мы применяем и к вакууму, где никаких зарядов, а следовательно, и никакого их «смещения» нет. Тем не менее, этот термин сохранился в силу исторических традиций.

Идея тока смещения – центральная идея электромагнитной теории Максвелла, хотя она и долго оспаривалась. Анри Пуанкаре отмечал потом с изумлением: «Все опыты того времени, казалось, противоречили этому, так как токи наблюдались исключительно в проводниках. Как мог Максвелл примирить свою смелую гипотезу с фактом так прочно установленным?».

В этих же работах Максвелл высказывает утверждение, что поле является носителем энергии и получает формулу для энергии электромагнитного поля в объеме V:

(11.11)

Таким образом, система уравнений электродинамики, предложенная Максвеллом, в современных обозначениях имеет вид:

(11.12)

Входящая в эти уравнения константа c , имеющая в гауссовой системе размерность скорости, называется электродинамической постоянной и является коэффициентом пропорциональности, связывающим единицы измерения силы тока в системах СГСЭ и СГСМ. Определить численное значение c можно было лишь из эксперимента. Оно оказалось равным скорости света в пустоте Анализируя свои уравнения, Максвелл установил, что они обладают существенной особенностью – для пустоты они могут иметь отличное от нуля решение. Это значило, что электромагнитное поле может существовать даже в отсутствие зарядов и токов. Такие электромагнитные поля, существующие в пустоте, получили название электромагнитных волн. Максвелл нашел, что электромагнитные волны должны быть поперечными, и установил, что в пустоте они распространяются со скоростью, равной скорости света. Этот вывод легко подтвердить на примере важного частного случая электромагнитных волн – монохроматической плоской волны

Из вида этого решения следует, что поверхность равных фаз распространяется в пространстве со скоростью, отвечающей условию откуда скорость распространения волны

Итак, электромагнитные волны оказались поперечными, как и световые колебания в оптике Френеля, а скорость их распространения в пустоте совпадала со скоростью света. Этот фундаментальный результат приводит Максвелла к важному выводу: «Скорость поперечных волновых колебаний в нашей гипотетической среде, вычисленная из опытов Кольрауша и Вебера^*, столь точно совпадает со скоростью света, вычисленной из оптических опытов Физо, что мы едва ли можем отказаться от вывода, что свет состоит из поперечных колебаний той же самой среды, которая является причиной электрических и магнитных явлений». К такому же выводу он пришел, разрабатывая свою гипотезу о токе смещения. Все это позволило ему уверенно заявить, что свет есть «электрическое возмущение в непроводящей среде», т.е. разновидность электромагнитных волн.

По меткому замечанию Луи де Бройля, благодаря Максвеллу мы теперь можем «рассматривать всю оптику как частный случай электродинамики, а это – один из наиболее замечательных примеров синтеза, которые дает нам история развития физики».

Продолжая разработку теории, Максвелл опубликовал в 1864 – 65 годах работу «Динамическая теория поля», а в 1873 году – «Трактат по электричеству и магнетизму». В этих трудах теория Максвелла принимает завершенный вид, и новый объект научного исследования, введенный Фарадеем, – электромагнитное поле – получает точное определение. «Та теория, которую я предлагаю, – пишет Максвелл в «Динамической теории поля», – может быть названа теорией электромагнитного поля, потому что она имеет дело с пространством, окружающим электрические или магнитные тела, и она может быть названа также динамической теорией, поскольку она допускает, что в этом пространстве имеется материя, находящаяся в движении, посредством которой и производятся наблюдаемые электромагнитные явления».

В последнем разделе «Динамической теории поля» Максвелл приводит вывод из своих уравнений, заключающийся в том, что в немагнитном диэлектрике могут существовать поперечные электромагнитные волны, распространяющиеся со скоростью Таким образом, показатель преломления n , по Максвеллу, определяется электрическими и магнитными свойствами среды. В немагнитном диэлектрике где  – диэлектрическая проницаемость среды.

Экспериментальная проверка этого соотношения имеет сложную историю. Известны результаты Л. Больцмана, измерившего диэлектрические проницаемости газов и показавшего для многих из них справедливость соотношения Однако для большинства твердых тел не наблюдалось удовлетворительного совпадения этих величин. Например, для парафина было получено  = 1,975. С другой стороны, измеренное значение показателя преломления парафина оказалось равным n= 1,420 вместо Эта разница слишком велика, чтобы отнести ее за счет ошибки наблюдения. Сам Максвелл считал эти расхождения указанием на необходимость существенного уточнения теории строения вещества, «прежде чем мы сможем выводить оптические свойства тел из их электрических свойств». Это замечание полностью подтвердилось дальнейшим развитием физики. С позиций нашего сегодняшнего знания мы легко можем объяснить трудности экспериментальной проверки соотношения  = n² во времена Максвелла. Ведь значение  измерялось для диэлектриков в стационарном электрическом поле, в то время как показатель преломления n определялся по результатам прохождения видимого света через диспергирующие среды. Но видимый свет относится к коротковолновому диапазону электромагнитного спектра, где показатель преломления весьма сложным образом зависит от частоты; а длинноволновая область электромагнитного спектра во времена Максвелла еще не была открыта и для нее, естественно, не были промерены значения n. Документы свидетельствуют, что сам Максвелл был близок к разгадке причин несовпадения экспериментально измеренных значений  и n². Он писал: «Мы едва можем надеяться даже на приблизительную проверку, если будем сравнивать результаты наших медленно протекающих электрических опытов со световыми колебаниями, совершающимися биллионы раз в секунду». Понимали это и российские физики, ученики Александра Григорьевича Столетова, Петр Алексеевич Зилов и Николай Николаевич Шиллер, проводившие измерения диэлектрической проницаемости твердых тел и жидкостей. Например, Зилов формулировал закон Максвелла таким образом: «Квадратный корень из диэлектрической постоянной изолятора равняется его показателю преломления для лучей бесконечно длинной волны».

В «Трактате» Максвелла содержался и еще один замечательный вывод. Электромагнитная волна, распространяясь в пространстве, переносит энергию. Поэтому, падая на поглощающую поверхность, волна должна оказывать на эту поверхность давление. Максвелл производит соответствующие расчеты и приходит к выводу: «В среде, в которой распространяется волна, появляется в направлении ее распространения давящая сила, которая во всякой точке численно равна количеству находящейся там энергии, отнесенной к единице объема». То есть, давление, оказываемое электромагнитной волной, равно ее объемной плотности энергии Максвелл подсчитывает и величину светового давления на плоскую поверхность, освещенную солнечным светом: «... среднее давление на квадратный фут равно 0,00000000882 весового фунта» (примерно 410^-6 н/м²).