Уравнение прямой с угловым коэффициентом
,
( 8 )
где
- ордината точки пересечения
прямой
с осью
(рис. 5).
Рис. 5
■Действительно, для произвольной
(текущей) то-чки
прямой имеем (см. рис. 5)
.
Пример. Уравнение прямой, проходящей
через точку
под углом
к (положительному направлению) оси Ox,
суть
так как здесь
.
Пример. Ось Ox (ввиду
того, что для нее
),
задается уравнением
.
Уравнение прямой, перпендикулярной
оси Ox и
проходящей через данную точку
(рис. 6)
( 9 )
Пример. Уравнение оси Oy
(для которой
)
Рис. 6
.
Общее уравнение прямой
,
( 10 )
где по крайней мере один из коэффициентов
отличен от нуля
.
из уравнения (10) немедленно следует формула для нахождения углового коэффициента прямой,
.
( 11 )
Пример. Угловой коэффициент прямой
равен
,
так как
Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении
Пусть прямая l
проходит через некоторую известную
точку
и имеет заданный угловой коэффициент
(рис.
7). В этом случае ее уравнение может быть
записано в виде
.
(12)
Пример. Уравнение прямой, проходящей
через точ-
Рис. 7 ку
и образующей угол
с положительным направлением оси Ox.
На основании уравнения (12) (при
и угловом коэффициенте
)
имеем
,
и окончательно
.
Определение.
Множество прямых, проходящих че-рез
точку
(рис. 8) называется пучком прямых с
центром
.
Уравнение (12) дает все прямые пучка,
за исключе-
Рис. 8 нием
прямой
,
которая перпендикулярна к оси Ox
и не имеет углового коэффициента
(иногда говорят, что ее угловой коэффициент
бесконечен). По этой причине уравнение
(12) часто называют уравнением пучка
прямых с центом
.
Уравнение прямой, проходящей
через две данные точки
Рис. 9
(рис. 9).
,
( 13 )
или в более употребительной форме
.
( 14 )
Координаты точек
позволяют найти угловой коэффициент
прямой без предварительного составления
ее уравнения,
.
( 15 )
Пример. Найти центр тяжести треугольника
с известными вершинами
,
.
Центр тяжести треугольника – это точка пересечения его медиан. Координаты середины D стороны BC треугольника
,
откуда, применяя уравнение (14), получаем уравнение медианы AD,
.
Таким же образом мы находим середину
стороны AC и
уравнение медианы BE,
.
Для нахождения точки M пересечения медиан AD и BE решаем систему уравнений
откуда
.
Центром тяжести треугольника является
точка
.
Пример. Составить приближенное уравнение
биссектрисы внутреннего угла при вершине
A треугольника с
вершинами
Решение задачи состоит из трех шагов.
1. Искомая биссектриса пересекает
противоположную сторону BC
треугольника в некоторой точке D,
которая делит BC в
отношении BD:DC,
равном
(по свойству биссектрисы внутреннего
угла треугольника). По формуле (1)
.
2. На основании формулы (2) находим координаты точки D,
.
3. Теперь мы находим приближенное
уравнение биссектрисы AD
как прямой, проходящей через две
данные точки
;
на основании уравнения (14)
