Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности
Пусть плоскости
заданы своими общими уравнениями
( 15 )
Углом между плоскостями
называется угол между их нормальными
векторами,
,
откуда
.
( 16 )
Две плоскости параллельны тогда и только тогда, если их нормальные векторы коллинеарны, именно:
( 17 )
Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, если их нормальные векторы перпендикулярны, то есть
( 18 )
Пример. Составить уравнение плоскости,
если она проходит через точку
перпендикулярно к двум плоскостям
.
Нормальные векторы данных плоскостей
.
Нормальный вектор
искомой плоскости перпендикулярен
векторам
и, следовательно, коллинеарен их
векторному произведению,
;
на основании уравнения (4) искомое уравнение суть
.
Пример. Найти значения параметров m, n, для которых плоскости
параллельны.
Нормальные векторы данных плоскостей
,
и на основании условия (17) параллельности
двух плоскостей должны иметь
,
откуда следует, что
.
Задача о пересечении трех плоскостей
Предположим, что мы ищем точки пересечения трех плоскостей, то есть мы изучаем систему уравнений этих плоскостей
( 19 )
Матрица системы и расширенная матрица суть
Случай 1.
.
Главный определитель системы
отличен от нуля, система имеет единственное
решение, и все плоскости пересекаются
в единственной точке.
Случай 2.
.
Система (19) несовместна. На основании
того, что
,
матрица A имеет
по крайней мере один ненулевой минор
второго порядка. В этом случае какие-то
из двух плоскостей пересекаются, а
третья плоскость параллельна линии их
пересечения. Если, например,
,
имеем
,
нормальные векторы
не коллинеарны, и пересекаются первые
две плоскости.
Случай 3.
.
Система (19) имеет бесконечное множество
решений, все плоскости имеют общую линия
пересечения.
Случай 4.
.
Система (19) не имеет решений. Все миноры
второго порядка матрицы A
равны нулю, следовательно, нормальные
векторы
плоскостей
попарно коллинеарны, плоскости
параллельны, но по крайней мере две из
них не совпадают.
Случай 5.
.
Все три плоскости совпадают.
Пространственная прямая Уравнения прямой, проходящей через данную точку параллельно заданному вектору
Пусть пространственная прямая l
проходит через точку
и параллельна некоторому вектору
,
который называется направляю-
щим
вектором прямой (рис. 11).
Для любой точки
прямой векторы
и
коллинеарны, и поэтому их соответствующие
коор
Рис. 11 динаты
пропорциональны. Отсюда следует, что
.
( 20 )
Формула (20) содержит два независимых уравнения, которые называются каноническими уравнениями прямой l.
Обозначим t равные отношения в (20),
.
Получим
,
откуда
( 21 )
Уравнения (21) называются параметрическими
уравнениями прямой. здесь t
– вспомогательная переменная, которая
называется параметром. Например, значение
параметра t = 0
соответствует точке
.
Пример. Составить параметрические и
канонические уравнения прямой, которая
проходит через точку
и перпендикулярна данной плоскости
.
В качестве направляющего вектора прямой мы берем нормальный вектор плоскости,
,
и с помощью формул (21) и (20) получаем
.
Пример. Составьте самостоятельно
уравнения высоты
треугольной пирамиды с известными
вершинами (см. пример, рассмотренный
выше)
,
.