Ранг матрицы и системы линейных алгебраических уравнений

Пусть рассматривается система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными

( 16 )

Введем в рассмотрение две матрицы

. ( 17 )

Первая образована коэффициентами при неизвестных и называется матрицей системы. Вторая отличается от первой дополнительным столбцом свободных членов и называется расширенной матрицей.

Очевидно,

, ( 18 )

то есть ранг матрицы системы A не может быть больше ранга расширенной ма-трицы .

Теорема (Кронекера⁴-Капелли⁵). Система линейных алгебраических ура-внений (16) совместна тогда и только тогда, если ранг матрицы системы A равен рангу расширенной матрицы ,

. ( 19 )

Теорема Кронекера – Капелли определяет следующий план исследования системы уравнений (16).

1. Находим ранги матрицы системы A и расширенной матрицы . Если

,

система несовместна.

2. Рассмотрим теперь основной случай, когда

,

где k – некоторое число. Очевидно, , то есть k не превосходит ни чи-сла уравнений, ни числа неизвестных.

На основании определения ранга матрицы матрица А содержит по крайней мере один отличный от нуля минор k-го порядка, а все миноры высших порядков обеих матриц А и равны нулю. Такой минор называется базисным. Строки, в которых он находится, определяют k базисных уравнений данной системы уравнений. Столбцы, в которых он находится, определяют k базисных неизвестных системы.

Пусть, для определенности, базисный минор расположен на пересечении первых k строк и столбцов матрицы системы А, то есть

.

В этом случае базисными уравнениями и неизвестными являются первые k ура-внений и первые k неизвестных.

Если количество m уравнений системы (16) превышает число k, мы можем оставить только k базисных уравнений, а остальные уравнений отбросить, так как они, на основании соответствующей теории, которую мы во втузе не изучаем, являются следствиями базисных уравнений. Таким образом, мы должны рассматривать далее систему только k первых уравнений системы (16) с n неизвестными. Могут представиться два случая.

А) Количество неизвестных n равно k (), то есть все неизвестные являются базисными, и мы имеем систему k уравнений с k неизвестными и отличным от нуля главным определителем . Такая система является сов-местной, имеющей единственное решение, которое мы можем найти одним из трех рассмотренных выше методов (правило Крамера, метод Гаусса или Жордана – Гаусса, матричный метод).

Б) Количество неизвестных n превышает k (). В этом случае k базисных неизвестных мы оставляем слева, а остальные неизвестных (так называемых свободных неизвестных) переносим направо, считая их произвольными. После этого мы решает полученную систему уравнений относительно базисных неизвестных (одним из только что названных методов), то есть фактически выражаем базисные неизвестные через свободные. Система (16) является в этом случае совместной, имеющей бесконечное множество решений (так как свободные неизвестные могут принимать какие угодно значения), и мы получаем так называемое общее решение системы.

Пример. Исследовать на совместность и решить систему линейных алгебраических уравнений

1. Матрица системы и расширенная матрица

имеют один и тот же ранг . Ранг первой матрицы мы нашли выше, ранг второй найдите самостоятельно. Следовательно, данная система уравнений совместна.

2. Выберем в качестве базисного минора (второго порядка) минор, расположенный на пересечении первых двух строк и столбцов матрицы системы А,

.

Такой выбор базисного минора определяет первые два уравнения и неизвестные как базисные.

Количество уравнений () превышает число , поэтому мы оставляем только базисные уравнения данной системы, то есть сводим ее к виду

Количество неизвестных () превышает число , поэтому мы оставляем слева только базисные неизвестные , перенося направо свободные неизвестные ,

Полученную систему уравнений мы решаем относительно методом Гаусса. Именно, прибавляя к первому уравнению второе, предварительно умно-женное на -3, получаем

откуда

.

Ответ: общее решение данной системы уравнений имеет вид

,

где - произвольные числа.

Замечание. Можно положить и представить общее решение в несколько иной форме, именно

,

где- произвольные числа.

Подчеркнем, что базисных миноров может быть несколько, и каждый из них определяет свои наборы базисных уравнений и неизвестных. Выбор базисного минора осуществляется самим студентом, решающим систему уравнений.

Пример. Исследовать на совместность уже рассматривавшуюся выше си-стему уравнений

Матрица системы и расширенная матрица здесь

Матрица А имеет отличный от нуля минор второго порядка

.

Ее единственный минор третьего порядка (он же – и главный определитель данной системы уравнений)

Если , то , следовательно , и система имеет единственное решение, то есть она является совместной определенной.

При обе матрицы принимают вид

,

ранг матрицы А равен 2, и нужно исследовать расширенную матрицу на ее ранг. Воспользуемся элементарными преобразованиями

Вот три первых из этих преобразований: а) третий столбец, умноженный на 3, 4 и -3, прибавляется соответственно к первому, второму и четвертому столбцам; б) первый столбец делится на 14, а второй – на 15; в) вторая строка, умноженная на -1, прибавляется к третьей. Далее подумайте самостоятельно.

Для последней из полученных выше матриц (неизменного ранга!) рассматриваем миноры второго и третьего порядков, а именно:

Таким образом, если , то , и система несовместна. Она является совместной (и неопределенной) для , так как в этом случае .