Декартов ортонормированный базис

В приложениях наиболее часто используется так называемый декартов ортонормированный базис. В пространстве - это тройка единичных (или нормированных) взаимно перпендикулярных (ортогональных) векторов, обычно обозначаемых , а в плоскости - аналогичная пара векторов . Система координат, определяемая декартовым ортонормированным базисом, называется декартовой прямоугольной.

Координаты вектора, разложенного по декартовому ортонормированному базису, представляют собой проекции этого вектора на соответствующие координатные оси и соответствующим образом обозначаются. Так, если для пространственного вектора имеем следующее разложение по :

, ( 8 )

то

.

Используя формулу (1) для нахождения проекции вектора на ось, имеем

, ( 9 )

где - углы, образованные вектором соответственно с осями .

В частности, , а поэтому . Аналогично .

Из формул (9) следует, что если вектор образует с какой-либо осью острый (тупой) угол, то соответствующая координата вектора положительна (соответственно отрицательна).

Например, вектор образует с осью тупой угол, а с осями - острые углы.

Длина (модуль) вектора, заданного в декартовом ортонормированном базисе, равна квадратному корню из суммы квадратов его координат. Именно,

( 10 )

для вектора (8), заданного в базисе , и

для вектора, заданного в базисе .

Косинусы углов , образованных вектором (8) с координатными осями, называются направляющими. На основании формулы (9) они равны

. ( 11 )

Из формул (11) и (10) следует, что сумма квадратов направляющих косинусов равна единице,

, ( 12 )

а поэтому орт вектора (8) определяется следующей формулой:

. ( 13 )

В свою очередь вектор может быть представлен с помощью своих длины и орта, а именно:

( 14 )

Пример. Найти расстояние между точками .

Достаточно найти длину вектора :

. (15)

Пример. Вектор задан в декартовом ортонормированном базисе своим началом и концом . Найти вектор, его длину, орт, направляющие косинусы, расстояние между точками A и B. Затем найти вектор , имеющий длину 12 и направленный противоположно вектору , а также вектор длины 20, сонаправленный с вектором .

По формуле (5)

Пользуясь теперь формулами (10), (15), (11), (13), (14), последовательно получаем

,

,

,

.

Скалярное произведение двух векторов

Как известно, скалярным произведением двух векторов называется чи-сло, равное произведению длин (модулей) этих векторов на косинус угла между ними, то есть (см. рис. 3)

. ( 16 )

Пример. Скалярное произведение векторов , Рис. 3 имеющих длины и образующих угол , равно

Скалярное произведение равно произведению длины одного вектора на проекцию другого на первый (или, точнее, на ось, определяемую первым вектором),

, ( 17 )

где a, b – оси, определенные векторами соответственно. Формула (17) следует из определения (16) и формулы (1) для нахождения проекции вектора на ось.

Пример. Проекции каждого из векторов предыдущего примера на ось другого на основании формулы (17) соответственно равны

.

Необходимо хорошо знать свойства скалярного произведения: 1) перестановочность (), 2) сочетательность относительно скалярного (в том числе числового) множителя (), 3) распределительность относительно векторных сомножителей (). Особо отметим два следующих свойства:

4) , ( 18 )

то есть скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины;

5) Два ненулевых вектора перпендикулярны (ортогональны) тогда и только тогда, если их скалярное произведение равно нулю.

Пример. Скалярные произведения векторов декартового ортонормированного базиса равны нулю,

,

так как .

Пример. Длины векторов равны , угол между ними . Найти длину вектора .

На основании свойств скалярного произведения, в том числе формулы (18),

Если векторы заданы в декартовом ортонормированном базисе , то их скалярное произведение равно сумме произведений их соответствующих координат, то есть если

,

или просто

,

то

. ( 19 )

Пример. Является ли прямоугольным треугольник с данными вершинами ? Найти его внутренний и внешний углы при вершине A (рис. 4).

Стороны треугольника ABC равны

,

Рис. 4 причем . Поэтому треугольник не является прямоугольным. Для нахождения упомянутых углов введем векторы

.

Используя формулы (16) и (19), мы получаем

Пример. Найти вектор , удовлетворяющий условиям

,

где - данные векторы.

Пусть искомый вектор имеет координаты , то есть . Тогда

и решение задачи сводится к решению системы линейных уравнений относительно ,

Эта последняя была решена в первой части настоящего пособия, а именно:

.

Ответ: Искомый вектор .