- •Донецк 2009
- •Методические указания к индивидуальному заданию: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии линейная алгебра определители
- •Вопросы для самопроверки по теме "Определители"
- •Системы линейных алгебраических уравнений.
- •Правило Крамера1
- •Метод Гаусса2
- •Матрицы
- •Матричный метод решения систем линейных уравнений
- •Ранг матрицы
- •Ранг матрицы и системы линейных алгебраических уравнений
- •Системы линейных однородных уравнений
- •Собственные значения и собственные векторы матрицы
- •Вопросы для самопроверки по темам "Системы линейных уравнений" и "Матрицы"
- •Аналитическая геометрия на плоскости прямая и окружность Уравнение линии. Окружность
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Общее уравнение прямой
- •Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении
- •Уравнение прямой в отрезках, отсекаемых ею на координатных осях
- •Взаимное расположение двух прямых Угол между двумя прямыми
- •Условия параллельности и перпендикулярности прямых
- •Дальнейшие примеры
- •Кривые второго порядка
- •Гипербола
- •Парабола
- •Полярные координаты
- •Переход от декартовых прямоугольных координат к полярным и наоборот
- •Уравнения некоторых линий в полярных координатах
- •Преобразование координат
- •Способы задания кривых
- •Вопросы для самопроверки по теме "Аналитическая геометрия на плоскости"
- •Векторы
- •Проекция вектора на ось
- •Разложение вектора по базису
- •Декартов ортонормированный базис
- •Скалярное произведение двух векторов
- •Векторное произведение двух векторов
- •Смешанное произведение трех векторов14
- •Вопросы для самопроверки по теме "Векторы"
- •Аналитическая геометрия в пространстве уравнение поверхности
- •Плоскость Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору
- •Общее уравнение плоскости
- •Некоторые частные случаи общего уравнения плоскости
- •Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
- •Уравнение плоскости в отрезках
- •Расстояние от точки до плоскости
- •Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности
- •Задача о пересечении трех плоскостей
- •Пространственная прямая Уравнения прямой, проходящей через данную точку параллельно заданному вектору
- •Уравнения прямой, проходящей через две данные точки
- •Общие уравнения прямой
- •Угол между двумя прямыми Условия параллельности и перпендикулярности
- •Плоскость и пространственная прямая Пересечение прямой с плоскостью (и поверхностью)
- •Угол между пространственной прямой и плоскостью Условия параллельности и перпендикулярности
- •Вопросы для самопроверки по теме "Аналитическая геометрия в пространстве"
- •Содержание
Матрицы
Матрицей размера называется прямоугольная таблица, содержащая m строк и n столбцов, а именно:
( 7 )
В случае матрица называется квадратной n-го порядка.
Студенту необходимо повторить операции сложения матриц одинакового размера, умножения матрицы на число, умножения матриц, а также свойства этих операций. Здесь мы ограничимся одним примером на умножение матриц.
Пример. Найти произведения матриц
.
Первые две из них являются квадратными матрицами второго порядка, третья представляет собой матрицу-столбец, или матрицу размера .
Имеем
,
,
.
Важное значение для последующего имеет так называемая обратная мат-рица.
Матрица называется обратной для матрицы , если выполняется двойное матричное равенство
, ( 8 )
где E единичная матрица (у которой, как известно, все элементы главной диагонали – единицы, а остальные элементы равны нулю).
Обратная матрица данной квадратной матрицы с отличным от нуля определителем , или , находится с помощью простой формулы. Например, для квадратной матрицы третьего порядка
( 9 )
обратная матрица равна
, ( 10 )
. ( 11 )
Таким образом, обратная матрица матрицы находится по следующему правилу:
а) вычисляется определитель данной матрицы;
б) все элементы матрицы заменяются их алгебраическими дополнени-ями, и матрица алгебраических дополнений транспонируется;
в) полученная матрица делится на определитель данной матрицы.
Пример. Найти обратную матрицу для матрицы
.
а) Определитель матрицы равен
;
б) находим алгебраические дополнения всех элементов матрицы
следовательно, матрица алгебраических дополнений и ее транспонированная соответственно равны
, ;
в) искомая обратная матрица равна
.
Полученный результат необходимо проверить, а именно показать, что равенство (8), определяющее обратную матрицу, выполняется. Другими словами нужно доказать, что
Докажем первое равенство (второе докажите самостоятельно). Имеем:
.
Матричный метод решения систем линейных уравнений
Пусть задана система n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными
( 12 )
и отличным от нуля главным определителем.
Введем в рассмотрение три матрицы
. ( 13 )
Первая из них состоит из коэффициентов при неизвестных и называется матрицей системы. Вторая представляет собой матрицу-столбец неизвестных, а третья – матрицу-столбец свободных членов. Легко проверить, что система (12) может быть представлена в виде матричного уравнения
. ( 14 )
Последнее имеет, как известно, единственное решение
, ( 15 )
откуда получается искомое решение системы уравнений (12).
Описанный метод решения системы линейных алгебраических уравнений называется матричным.
Пример. Решить матричным способом систему уравнений
Матрица системы, матрицы-столбцы неизвестных и свободных членов здесь
.
Эквивалентное матричное уравнение и его решение
.
Обратная матрица матрицы A найдена выше,
,
следовательно,
.
Ответ: .