- •Донецк 2009
- •Методические указания к индивидуальному заданию: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии линейная алгебра определители
- •Вопросы для самопроверки по теме "Определители"
- •Системы линейных алгебраических уравнений.
- •Правило Крамера1
- •Метод Гаусса2
- •Матрицы
- •Матричный метод решения систем линейных уравнений
- •Ранг матрицы
- •Ранг матрицы и системы линейных алгебраических уравнений
- •Системы линейных однородных уравнений
- •Собственные значения и собственные векторы матрицы
- •Вопросы для самопроверки по темам "Системы линейных уравнений" и "Матрицы"
- •Аналитическая геометрия на плоскости прямая и окружность Уравнение линии. Окружность
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Общее уравнение прямой
- •Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении
- •Уравнение прямой в отрезках, отсекаемых ею на координатных осях
- •Взаимное расположение двух прямых Угол между двумя прямыми
- •Условия параллельности и перпендикулярности прямых
- •Дальнейшие примеры
- •Кривые второго порядка
- •Гипербола
- •Парабола
- •Полярные координаты
- •Переход от декартовых прямоугольных координат к полярным и наоборот
- •Уравнения некоторых линий в полярных координатах
- •Преобразование координат
- •Способы задания кривых
- •Вопросы для самопроверки по теме "Аналитическая геометрия на плоскости"
- •Векторы
- •Проекция вектора на ось
- •Разложение вектора по базису
- •Декартов ортонормированный базис
- •Скалярное произведение двух векторов
- •Векторное произведение двух векторов
- •Смешанное произведение трех векторов14
- •Вопросы для самопроверки по теме "Векторы"
- •Аналитическая геометрия в пространстве уравнение поверхности
- •Плоскость Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору
- •Общее уравнение плоскости
- •Некоторые частные случаи общего уравнения плоскости
- •Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
- •Уравнение плоскости в отрезках
- •Расстояние от точки до плоскости
- •Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности
- •Задача о пересечении трех плоскостей
- •Пространственная прямая Уравнения прямой, проходящей через данную точку параллельно заданному вектору
- •Уравнения прямой, проходящей через две данные точки
- •Общие уравнения прямой
- •Угол между двумя прямыми Условия параллельности и перпендикулярности
- •Плоскость и пространственная прямая Пересечение прямой с плоскостью (и поверхностью)
- •Угол между пространственной прямой и плоскостью Условия параллельности и перпендикулярности
- •Вопросы для самопроверки по теме "Аналитическая геометрия в пространстве"
- •Содержание
Уравнения некоторых линий в полярных координатах
1. Луч, исходящий из полюса под углом к полярной оси (рис. 13).
Для любой точки луча мы имеем
. ( 19 )
2. Окружность радиуса R с центром в полюсе (рис. 14).
Для любой точки окружности имеем
. ( 20 )
3. Окружность (рис. 15).
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
2a |
a |
a |
0 |
Point |
A |
|
|
O |
Рис. 13 |
Рис . 14 |
Рис . 15 |
Запишем уравнение линии в декартовых координатах. С этой целью умножим обе его части на ,
,
и примем во внимание формулы (17), (18),
.
Получили уравнение окружности радиуса a с центром.
4. Кардиоида . С помощью таблицы мы изображаем сначала несколько точек линии, а затем и саму линию (см. рис. 16).
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
|
|
|
|
|
||
|
1 |
½ |
0 |
-1/2 |
-1 |
|
||
+ |
2 |
3/2 |
1 |
½ |
0 |
|
||
|
2a |
3/2 a |
a |
1/2 a |
0 |
|
||
Точка |
A |
|
|
|
O |
|
||
Рис. 16 |
Рис. 17 |
Рис. 18 |
5. Лемниската Бернулли9
.
Линия симметрична относительно осей Ox, Oy, поэтому мы изучим ее в первом квадранте. Очевидно, что . Переходя к полярным координатам, имеем
.
Давая значения 0, , , полярному углу , составим следующую таблицу и построим лемнискату (рис. 17).
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
1 |
0.9 |
0.7 |
0 |
|
1 |
0.94 |
0.8 |
0 |
|
2a |
1.9 a |
1.6 a |
0 |
Точка |
A |
B |
C |
O |
6. Постройте самостоятельно спираль Архимеда10 (рис. 18).
7. Конические сечения в полярных координатах. Если мы поместим полюс в левом фокусе эллипса, правом фокусе гиперболы, в фокусе параболы соответственно и направим полярную ось от левого до правого фокусов эллипса и гиперболы и от вершины до фокуса параболы (см. рис. 19, 20, 21), то все три кривые будут иметь то же самое полярное уравнение.
■Пусть, во-первых, - произвольная точка эллипса. Тогда
, ,
и на основании теоремы косинусов
Введем следующую величину (так называемый параметр эллипса)
.
Полярное уравнение эллипса принимает вид
,
где эксцентриситет удовлетворяет неравенству .
Рис. 19 |
Рис. 20 |
Рис. 21 |
Для гиперболы мы тем же путем выводим такое же самое уравнение, но в предположении, что эксцентриситет (сделайте это самостоятельно).
Наконец, для параболы мы имеем (fig. 21)
то есть то же самое уравнение с эксцентриситетом .■