- •Донецк 2009
- •Методические указания к индивидуальному заданию: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии линейная алгебра определители
- •Вопросы для самопроверки по теме "Определители"
- •Системы линейных алгебраических уравнений.
- •Правило Крамера1
- •Метод Гаусса2
- •Матрицы
- •Матричный метод решения систем линейных уравнений
- •Ранг матрицы
- •Ранг матрицы и системы линейных алгебраических уравнений
- •Системы линейных однородных уравнений
- •Собственные значения и собственные векторы матрицы
- •Вопросы для самопроверки по темам "Системы линейных уравнений" и "Матрицы"
- •Аналитическая геометрия на плоскости прямая и окружность Уравнение линии. Окружность
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Общее уравнение прямой
- •Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении
- •Уравнение прямой в отрезках, отсекаемых ею на координатных осях
- •Взаимное расположение двух прямых Угол между двумя прямыми
- •Условия параллельности и перпендикулярности прямых
- •Дальнейшие примеры
- •Кривые второго порядка
- •Гипербола
- •Парабола
- •Полярные координаты
- •Переход от декартовых прямоугольных координат к полярным и наоборот
- •Уравнения некоторых линий в полярных координатах
- •Преобразование координат
- •Способы задания кривых
- •Вопросы для самопроверки по теме "Аналитическая геометрия на плоскости"
- •Векторы
- •Проекция вектора на ось
- •Разложение вектора по базису
- •Декартов ортонормированный базис
- •Скалярное произведение двух векторов
- •Векторное произведение двух векторов
- •Смешанное произведение трех векторов14
- •Вопросы для самопроверки по теме "Векторы"
- •Аналитическая геометрия в пространстве уравнение поверхности
- •Плоскость Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору
- •Общее уравнение плоскости
- •Некоторые частные случаи общего уравнения плоскости
- •Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
- •Уравнение плоскости в отрезках
- •Расстояние от точки до плоскости
- •Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности
- •Задача о пересечении трех плоскостей
- •Пространственная прямая Уравнения прямой, проходящей через данную точку параллельно заданному вектору
- •Уравнения прямой, проходящей через две данные точки
- •Общие уравнения прямой
- •Угол между двумя прямыми Условия параллельности и перпендикулярности
- •Плоскость и пространственная прямая Пересечение прямой с плоскостью (и поверхностью)
- •Угол между пространственной прямой и плоскостью Условия параллельности и перпендикулярности
- •Вопросы для самопроверки по теме "Аналитическая геометрия в пространстве"
- •Содержание
Уравнение прямой в отрезках, отсекаемых ею на координатных осях
Пусть прямая l отсекает отрезки OA, OB на осях Ox, Oy (соответственно) и (см. рис. 10). В таком случае уравнение прямой может быть Рис. 10 записано в виде
. ( 16 )
Пример. Найти площадь треугольника, ограниченного координатными осями и прямой .
Сведем уравнение прямой к виду (16),
.
Тогда искомая площадь будет равна
(квадратных единиц).
Взаимное расположение двух прямых Угол между двумя прямыми
Пусть даны две прямые с известными угловы-ми коэффициентами (рис. 11). Угол Рис. 11 между ними определяется по формуле
. ( 17 )
Пример. Найти угол между двумя прямыми линиями, заданными их общими уравнениями: .
Находя угловые коэффициенты прямых, применяем формулу (17).
Условия параллельности и перпендикулярности прямых
Формула (17) позволяет установить необходимое и достаточное условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
Две прямые параллельны тогда и только тогда, если равны их угловые коэффициенты,
. ( 18 )
Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, если их угловые коэффициенты удовлетворяю условию
. ( 19 )
Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через вершину треугольника параллельно его стороне BC.
Угловой коэффициент k искомой прямой равен . Формума (15) дает
,
и на основании формулы (12) имеем
.
Пример. Составить уравнение высоты, опущенной из вершины A того же треугольника ABC.
Если мы обозначим угловой коэффициент искомой высоты, то на основании условия (19) перпендикулярности двух прямых будем иметь
,
откуда найдем
.
Теперь записываем уравнение высоты, применяя уравнение (12),
.
Дальнейшие примеры
Пример. Найти точку Q, которая симметрична точке относите-льно прямой, проходящей через две данные точки (рис. 12).
Fig. 12 |
Fig. 13 |
Fig. 14 |
1. Составляем уравнение прямой AB (на основании формулы (14))
.
2. Составим уравнение прямой PQ, которая перпендикулярна прямой AB и проходим через точку . На основании условия перпендикулярности прямых
.
Теперь на основании уравнения (12) получаем
.
3. Находим точку M пересечения прямых PQ и AB. Решая соответствующую систему уравнений
получаем .
4. Для нахождения искомой точки Q примем во внимание, что найденная точка является серединой отрезка PQ, а следовательно
.
Таким образом, мы нашли искомую точку .
5. Для нахождения расстояния точки от прямой AB достаточно найти расстояние между точками и ,
Пример. Даны вершины треугольника ABC (см. рис. 13). Составьте самостоятельно уравнения его высоты BD, медианы CE и биссектрисы BF. Составить далее уравнение окружности, описанной около треугольника.
Пусть точка является центром описанной окружности. Это значит, что
Мы получили систему уравнений относительно координат точки . Возводя в квадрат и приводя подобные члены, сводим систему к системе линейных уравнений
.
Квадрат радиуса окружности равен
,
Откуда получаем приближенное уравнение описанной окружности
.
Пример. Даны две вершины и точка пересечения высот треугольника ABC (рис. 14). Найти координаты вершины C.
Решение.
1. Имея точки , по формуле (15) находим угловой коэффициент высоты AK:
2. Используя условие перпендикулярности прямых, находим угловой коэффициент стороны BC,
3. С помощью уравнения (12) составляем уравнение прямой BC:
4. Таким же путем составляем уравнение прямой AC:
5. Находим точку C пересечения прямых BC, AC , решая систему урав-нений этих прямых.
Замечание. Расстояние точки от прямой l, заданной общим уравнением
,
может быть найдено с помощью следующей формулы:
. ( 20 )
Пример. Составить уравнение окружности с центром , которая касается прямой .
Радиус окружности равен расстоянию точки от данной прямой. Находим его с помощью формулы (20),
.
Теперь составляем искомое уравнение окружности,