Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 8

Если - три данные точки плоскости (рис. 6), мы можем составить ее уравнение с помощью уравнения (4), определив нормальный вектор из условия

( 12 )

и использовав одну из данных точек плоскости.

Пример. Составить уравнение плоскости, которая проходит через три точки , .

Последовательно имеем

.

Использовав, например, точку , с помощью уравнения (4) получаем

;

после раскрытия скобок записываем уравнение плоскости в общем виде

.

Замечание. Если студенты владеют теорией смешанного произведения трех векторов, то уравнение плоскости, проходящей через три данные точки , можно получить из условия компланарности трех векторов

,

где - произвольная (текущая) точка плоскости. Именно:

Уравнение плоскости в отрезках

Пусть плоскость отсекает отрезки на координатных осях (см. рис. 7). Тогда ее уравнение может быть представлено в виде

. ( 13 )

Пример. Вычислить объем треугольной пирамиды, ограниченной плоскостью

и координатными плоскостями (рис. 7).

Перепишем сначала уравнение плоскости в форме (13),

.

Плоскость отсекает на координатных осях отрезки (так что ). Следовательно, искомый объем равен

кубических единиц..

Пример. Найти точки пересечения плоскости с координатными осями и линии ее пересечения с координатными плоскостями. изобразить плоскость.

a) Точки пересечения с координатными осями

Точка пересечения с	Полагаем	Получаем
осью Ox	y = z = 0
осью Oy	x = z = 0
осью Oz	x = y = 0

b) Линии пересечения с координатными плоскостями

Линия пересечения с	Полагаем	Получаем
плоскостью xOy	z = 0
плоскостью xOz	y = 0
плоскостью yOz	z = 0

Плоскость изображена на рис. 8

Расстояние от точки до плоскости

Пусть даны плоскость , заданная общим уравнением

,

и точка . Ее расстояние от плоскости дается Рис. 9 формулой

. ( 14 )

В соответствии с формулой мы должны в уравнении плоскости заменить x, y, z координатами точки, найти абсо-лютную величину результата и разделить его на длину нор-мального вектора плоскости. Пример. Найти уравнение сферы, центр которой находится в точке и которая касается пло-скости.

Радиус сферы равен расстоянию от точки до плоскости. По формуле (14) имеем

,

и на основании (2) получаем уравнение искомой сферы

.

Пример. Найти объем треугольной пирамиды с известными вершинами , (рис. 10).

Если - высота пирамиды, то ее объем Рис. 10 равен

.

Но

где

,

а высота равна расстоянию точки от плоскости, проходящей через точки . Уравнение последней найдено выше,

,

откуда

.

Окончательно

кубических единиц.