- •Донецк 2009
- •Методические указания к индивидуальному заданию: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии линейная алгебра определители
- •Вопросы для самопроверки по теме "Определители"
- •Системы линейных алгебраических уравнений.
- •Правило Крамера1
- •Метод Гаусса2
- •Матрицы
- •Матричный метод решения систем линейных уравнений
- •Ранг матрицы
- •Ранг матрицы и системы линейных алгебраических уравнений
- •Системы линейных однородных уравнений
- •Собственные значения и собственные векторы матрицы
- •Вопросы для самопроверки по темам "Системы линейных уравнений" и "Матрицы"
- •Аналитическая геометрия на плоскости прямая и окружность Уравнение линии. Окружность
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Общее уравнение прямой
- •Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении
- •Уравнение прямой в отрезках, отсекаемых ею на координатных осях
- •Взаимное расположение двух прямых Угол между двумя прямыми
- •Условия параллельности и перпендикулярности прямых
- •Дальнейшие примеры
- •Кривые второго порядка
- •Гипербола
- •Парабола
- •Полярные координаты
- •Переход от декартовых прямоугольных координат к полярным и наоборот
- •Уравнения некоторых линий в полярных координатах
- •Преобразование координат
- •Способы задания кривых
- •Вопросы для самопроверки по теме "Аналитическая геометрия на плоскости"
- •Векторы
- •Проекция вектора на ось
- •Разложение вектора по базису
- •Декартов ортонормированный базис
- •Скалярное произведение двух векторов
- •Векторное произведение двух векторов
- •Смешанное произведение трех векторов14
- •Вопросы для самопроверки по теме "Векторы"
- •Аналитическая геометрия в пространстве уравнение поверхности
- •Плоскость Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору
- •Общее уравнение плоскости
- •Некоторые частные случаи общего уравнения плоскости
- •Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
- •Уравнение плоскости в отрезках
- •Расстояние от точки до плоскости
- •Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности
- •Задача о пересечении трех плоскостей
- •Пространственная прямая Уравнения прямой, проходящей через данную точку параллельно заданному вектору
- •Уравнения прямой, проходящей через две данные точки
- •Общие уравнения прямой
- •Угол между двумя прямыми Условия параллельности и перпендикулярности
- •Плоскость и пространственная прямая Пересечение прямой с плоскостью (и поверхностью)
- •Угол между пространственной прямой и плоскостью Условия параллельности и перпендикулярности
- •Вопросы для самопроверки по теме "Аналитическая геометрия в пространстве"
- •Содержание
Аналитическая геометрия в пространстве уравнение поверхности
Определение. Уравнение вида
( 1 )
называется уравнением поверхности S, если координаты любой точки поверхности (и только такой точки) удовлетворяют ему.
Пример. Уравнение сферы радиуса R с центром в точке (рис. 1)
. ( 2 )
Если центр сферы находится в начале координат, Рис. 1 ее уравнение принимает вид
. ( 3 )
Пример. Определить вид поверхности, заданной уравнением
.
Дополняя до полных квадратов, получим
,
,
то есть уравнение сферы радиуса с центром в точке .
Плоскость Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору
Пусть плоскость (рис. 2) проходит через точку и перпендикулярна некоторому ненулевому вектору (так называемому нормальному вектору плоскости).
Fig. 2 |
Fig. 3 |
Fig. 4 |
Так как для произвольной точки плоскости векторы
перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю,
,
откуда следует уравнение плоскости
. ( 4 )
Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум векторам .
Если мы предположим, что векторы имеют общее начало(рис. 3), то увидим, что нормальный вектор плоскости коллинеарен их векторному произведению,
,
и с помощью уравнения (4) получим
.
Замечание. Аналогичную задачу можно рассмотреть в плоскости xOy: составить уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно данному ненулевому вектору (номальному вектору) (рис. 4).
Аналогичные рассуждения приводят к следующему уравнению прямой:
. ( 5 )
Раскрывая скобки, мы получим уравнение вида
, ( 6 )
где то есть общее уравнение прямой
Если в уравнении (5) коэффициент , мы получаем уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей данный угловой коэффициент k (или уравнение пучка прямых с центром в точке )
. ( 7 )
Пример. Составить уравнение высоты, проведенной из вершины C треугольника ABC с задан-ными вершинами (рис. 5).
Нормальный вектор высоты , и на основании (5) имеем Рис. 5 .
Общее уравнение плоскости
Уравнение (4) после раскрытия скобок может быть записано в виде
где и . Обратно, уравнение
() ( 8 )
является уравнением плоскости с нормальным вектором . Оно называется общим уравнением плоскости.
Некоторые частные случаи общего уравнения плоскости
1. Если , то плоскость, уравнение которой принимает вид
,
проходит через начало координат .
2. Если , то плоскость с соответствующим уравнением
параллельна оси Ox.
3. Если , плоскость, уравнение которой
,
параллельна осям Ox, Oy и, следовательно, параллельна плоскости xOy. Если, кроме того, , получаем уравнение плоскости xOy, а именно:
. ( 9 )
Аналогично рассматриваются другие случаи общего уравнения плоскости, в частности (если или ), мы приходим к уравнениям плоскостей xOz, yOz
( 10 )