1.3. Вероятность

Вероятность – мера, связанная с событиями, т.е. каждому событию соответствует некоторое значение вероятности. Значение вероятности ограничено интервалом от 0 до 1, включая концы интервала, причем значение 1 соответствует достоверному событию, а значение 0 – невозможному событию.

Таким образом, вероятность некоторого события Е должна удовлетворять следующим требованиям:

;

(1.1)

.

(1.2)

Если события Е_А и Е_В взаимоисключающие или несовместны, то вероятность пересечения этих событий равна 0:

;

(1.3)

.

(1.4)

Формулы (1.1)–(1.4) называются аксиомами вероятности, и на них можно построить всю теорию вероятности.

1.3.1. Определения вероятности

Численно оценить значение вероятностей можно двумя способами:

1) способом, основанным на предварительных суждениях (априорные вероятности);

2) способом, основанным на экспериментальных данных (апостериорные вероятности).

Из априорных способов наиболее часто используется подход, основанный на понятии классического определения вероятности (понятии равновозможных исходов).

Классическая вероятность наступления события Е – это отношение числа благоприятствующих событию Е исходов (m) к общему числу всех несовместных элементарных исходов (n), образующих полную группу:

.

(1.5)

Из апостериорных подходов можно выделить подход, основанный на понятии статистического определения вероятности (метод относительной частоты).

Относительной частотой события называется отношение числа испытаний, в котором событие появилось (k), к общему числу фактически произведённых испытаний (r):

.

(1.6)

В качестве статистической вероятности события принимают относительную частоту или число, близкое к ней. Это приближение улучшается по мере роста r, и точное значение определяется формулой

.

(1.7)

Кроме рассмотренных выше методов, можно выделить подход, основанный на понятии геометрического определения вероятности.

Геометрическая вероятность – это вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.).

Пусть отрезок l составляет часть длины отрезка L. Точка А на этом отрезке поставлена наудачу (рис. 1.8).

Рис.1.8. Пояснение к понятию «геометрическая вероятность»

Предположения, принятые при этом:

- поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка L;

- вероятность попадания точки А на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L.

В этом случае вероятность попадания точки А на отрезок l (событие Е) определяется равенством:

.

(1.8)

1.3.2. Условная вероятность

Часто случается, что вероятность какого-то события А зависит от того, произошло или не произошло событие В. В этом случае вероятность возникновения события А является условной и для ее обозначения используют следующую форму записи: P[A/B].

Общая формула условной вероятности:

.

(1.9)

В общем случае, если вероятность какого-то события А условна относительно нескольких событий В₁, В₂, …, В_n, которые являются несовместными и в сумме составляют достоверное событие, то полная вероятность события А определяется по формуле полной вероятности:

.

(1.10)

1.3.3. Формулы вычисления вероятностей

1) Если событие A является дополнением А, то

.

(1.11)

2) Сумма вероятностей событий А₁, А₂, …, А_n, образующих пространство элементарных событий  (полную группу), равна:

.

(1.12)

3) Теорема умножения вероятностей для двух событий:

.

(1.13)

В общем случае:

(1.14)

4) Теорема сложения вероятностей для двух событий:

.

(1.15)

Для трех событий по диаграмме Вьенна:

(1.16)

Случай, когда события несовместны:

;

(1.17)

.

(1.18)

Случай, когда события независимы:

;

(1.19)

.

(1.20)

5) Вероятность появления хотя бы одного из событий А₁, А₂, …, А_n, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположенных событий A₁, A₂, …,A_n:

(1.21)