- •А.Н. Назарычев, а.А. Скоробогатов, с.И. Марьянова
- •Оглавление
- •Глава 1. Основные положения теории вероятности 5
- •Глава 4. Расчет показателей надежности объектов по статистическим данным 50
- •Предисловие
- •Глава 1. Основные положения теории вероятности
- •1.1. Множества
- •1.2. События
- •1.3. Вероятность
- •1.4. Случайные величины и их распределение
- •1.5. Марковские процессы
- •Вопросы для самоподготовки
- •Глава 2. Основные понятия теории надежности
- •2.1. Объект. Элемент. Система. Основные объекты электрической части электростанций и подстанций
- •2.2. Группы восстановительных ремонтов
- •2.3. Виды объектов по наличию проведения на них восстановления
- •2.4. Состояния и события, характеризующие надёжность объектов электроэнергетики
- •2.5. Резервирование объектов в электроэнергетике
- •2.6. Временная диаграмма состояний. Поток событий случайных величин в электроэнергетике
- •2.7. Модели интенсивностей переходов из состояния
- •2.8. Надёжность объекта. Ее компоненты
- •Вопросы для самоподготовки
- •Глава 3. Показатели надёжности энергообъектов
- •3.1. Общие положения
- •3.2. Вероятностные и статистические показатели надежности невосстанавливаемых объектов
- •3.3. Вероятностные и статистические показатели надежности восстанавливаемых объектов
- •Вопросы для самоподготовки
- •Глава 4. Расчет показателей надежности объектов по статистическим данным
- •4.1. Способы сбора статистической информации об отказах и восстановлениях объектов электроэнергетики
- •4.2. Статистическая обработка результатов работы невосстанавливаемых объектов. Выбор закона распределения вероятности наработки до отказа
- •1) Расчет показателей безотказности. Построение их графиков.
- •2) Расчёт числовых характеристик.
- •3) Выбор закона распределения наработки до отказа.
- •Вопросы для самоподготовки
- •Задачи для самоподготовки
- •Глава 5. Методы и задачи расчета надежности электроэнергетических объектов
- •5.1 Метод пространства состояний
- •Из временной диаграммы состояний определяются параметры , и .
- •5.1.4. Объединение состояний
- •Задачи для самоподготовки
- •5.2. Таблично-логический метод расчета надежности схем распределительных устройств
- •1.1. Составление таблицы отказов (табл. 5.2).
- •1.2. Определение показателей надежности элементов ру.
- •Вопросы для самоподготовки
- •Задачи для самоподготовки
- •Библиографический список
- •Редактор м.А. Иванова
-
Составляется диаграмму пространства состояний по временной диаграмме состояний с неизвестными параметрами .
-
Из временной диаграммы состояний определяются параметры , и .
-
Определяются асимптотические значения вероятностей нахождения объекта в каждом из состояний .
-
Определяются интенсивности переходов изодного состояния в другое .
-
Составляются уравнения Чемпена-Колмогорова и условия нормировки.
-
Из полученной системы уравнений находятся вероятности.
5.1.4. Объединение состояний
Во многих приложениях определение асимптотических (стационарных) значений вероятностей состояний с помощью моделей пространств состояний можно упростить, если объединить некоторые множества состояний для того, чтобы они образовали единичное совокупное состояние.
После объединения групп состояний возникает новый процесс с некоторыми новыми состояниями (совокупными состояниями) и с новыми переходами (между совокупными состояниями). В большинстве случаев новый процесс уже не будет Марковским, потому что продолжительности пребывания системы в совокупных состояниях, вообще говоря, распределены не по экспоненциальному закону.
Новый процесс останется Марковским только при удовлетворении условия объединяемости – условия, при котором интенсивности перехода к любому другому состоянию или к группе объединенных состояний одинакова для всех состояний, входящих в рассматриваемую группу. При выполнении этого условия можно рассчитать вероятности нахождения системы в любом состоянии не только для стационарных, но и для нестационарных процессов.
Поясним сказанное выше на примере объединения двух состояний системы в одно (рис. 5.4).
Процесс останется Марковским, то есть интенсивности переходов q61, q62, и q63 останутся независимыми от времени при выполнении следующих условий: q41 = q51, q42 = q52, и q43 = = q53. При этом неважно, равны или нет интенсивности q41, q42 и q43.
Выведем формулы для вычисления вероятностей и частоты возникновения совокупных состояний. Рассмотрим схему (рис. 5.5), в которой несколько состояний j объединены в одно совокупное состояние J.
Вероятность состояния J, обозначаемая PJ, равна сумме всех вероятностей Pj:
. |
(5.12) |
Вероятности Pj можно складывать, так как события, заключающиеся в том, что система находится в одном из состояний j, взаимоисключающие. Частота возникновения состояний J, обозначаемая J, равна сумме всех частот перехода из состояния j в состояние i, находящееся вне J:
, |
(5.13) |
где при втором преобразовании была выполнена подстановка по формуле (5.8).
Чтобы найти решение, используя пространство состояний, получившееся после объединения состояний j, необходимо знать обозначенные на рис. 5.5 интенсивности переходов qiJ и qJi. Их можно вычислить, исходя из того, что частота переходов от i к J должна быть такой же, как частота переходов от i ко всем состояниям j до их объединения, и аналогично для переходов от J к i. Согласно (5.8) эти требования можно представить как
; , |
(5.14) |
откуда
|
(5.15) |
и
. |
(5.16) |
Если удовлетворены условия объединяемости, то есть если qji одинаковы для всех j, то уравнение (5.16) упрощается:
для . |
(5.17) |
|
|
||
Рис. 5.4. Объединение состояний 4 и 5 в состояние 6 при условии, что процесс должен остаться Марковским |
|
Рис. 5.5. Объединение состояний j в совокупное состояние J |
В заключение найдем интенсивность переходов между двумя совокупными состояниями I и J, каждое из которых состоит из нескольких исходных состояний (естественно непересекающихся). Схематически такая система изображена на рис. 5.6; согласно уравнениям (5.15) и (5.16) эти интенсивности равны:
, . |
(5.18) |
Если удовлетворены условия объединяемости, то эти уравнения приводятся к виду
для ; для , |
(5.19) |
поскольку внутри I все qij не зависят от i, а внутри J все qji не зависят от j.
|
Рис. 5.6. Переходы между двумя совокупными состояниями |
Пример 1. Рассмотрим пространство состояний дублированной системы с неявным резервированием при ограниченном аварийном ремонте (возможен только их последовательный ремонт). Предположим, что оба элемента имеют одинаковую интенсивность отказов и восстановления . Пространство состояний тогда приобретает вид, показанный на рис. 5.7, а. После объединения двух состояний, характеризуемых отказом одного элемента в состоянии А, и двух состояний, характеризуемых отказом двух элементов в состоянии В, получается диаграмма пространства состояний, изображенная на рис. 5.7, б.
Легко убедиться в том, что при этом объединении состояний условия объединяемости удовлетворяются.
Для состояния А:
и – условие объединяемости выполняется.
Для состояния B:
– условие объединяемости выполняется.
Вычислим интенсивности переходов в новой диаграмме. Согласно уравнению (5.15)
. |
Согласно (5.16) или (5.17)
. |
И наконец, согласно (5.18) или (5.19)
и . |
|
а) |
|
б) |
Рис. 5.7. Объединение состояний (, ) дублированной системы с неявным резервированием при условии возможности лишь последовательного их ремонта: a – исходная диаграмма пространства состояний; б – конечная диаграмма пространства состояний |
Модель, изображенная на рис. 5.7, б, очевидно, значительно проще использовать для расчета, чем модель 5.7, а. Однако некоторая информация, имеющаяся в исходной диаграмме, маскируется в упрощенной диаграмме, например тот факт, что одни ремонты элементов могут выполняться лишь последовательно, становится неразличимым.
Иногда может оказаться целесообразным объединить состояния, если даже условия объединяемости и не выполняются. В этих случаях уравнения, получаемые из диаграммы после объединения состояний, не могут быть использованы для определения неустановившихся значений вероятностей состояний. Несмотря на это, асимптотические значения вероятности состояний и частоты возникновения состояний вычисляются верно.
Пример 2. Рассмотрим пространство состояний, изображенное на рис. 5.7, а. Если объединить состояния 3 и 4, но не объединять состояния 1 и 2, то получится схема, изображенная на рис. 5.8.
|
Рис. 5.8. Объединение состояний, отвечающий отказу двух элементов (рис. 5.7, а) |
При таком объединении условия объединяемости не выполняются:
и .
Но, несмотря на это, асимптотические значения вероятности состояний вычисляются верно. Интенсивности переходов для диаграммы, изображенной на рис. 5.9, находятся следующим образом.
Согласно выражению (5.15)
. |
Согласно (5.16)
. |
Причем вероятности сокращаются из соображений симметрии, так как P3=P4. Аналогично
. |
Пример 3. Временная диаграмма состояний системы, которая может находиться в пяти состояниях, представлена на рис. 5.9.
|
Рис. 5.9. Временная диаграмма состояний системы |
Известно следующее:
- продолжительность пребывания системы в каждом из состояний подчинена экспоненциальному закону;
- средняя продолжительность пребывания системы в каждом из состояний:
ч; ч; ч; ч; ч;
- – рабочее состояние; – состояние аварийного ремонта; – состояние планово-предупредительного ремонта.
Задание:
1. Составить диаграмму пространства состояний по данной временной диаграмме состояний системы.
Определить:
- частоту появления каждого из состояний (1, 2, 3, 4, 5);
- вероятность нахождения системы в каждом из пяти состояний в стационарном режиме работы (P1(), P2(), P3(), P4(), P5());
- интенсивности переходов из состояния в состояние (q12, q13, q32, q45 и т. д. – год-1).
2. Составить диаграмму пространства состояний для данной системы, которая имеет три состояния: S5, S6, S7. Определить с помощью этой диаграммы вероятности нахождения системы в работоспособном состоянии, состоянии аварийного ремонта и в состоянии планово-предупредительного ремонта для установившегося (стационарного) процесса.
Решение:
Составим диаграмму пространства состояний по данной временной диаграмме состояний системы (рис 5.10).
|
Рис. . 5.10. Диаграмма пространства состояний системы |
Определим частоту появления каждого из состояний.
;
;
;
;
;
.
Определим вероятности нахождения системы в каждом из пяти состояний в стационарном режиме работы.
.
;
;
;
;
.
Определим интенсивности переходов из состояния в состояние.
.
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Проведем проверку правильности определения значений интенсивностей перехода системы из i-го состояния.
год-1.
год-1;
год-1;
год-1;
год-1;
Составим диаграмму пространства состояний для данной системы, которая имеет три состояния: S5, S6, S7 (рис 5.11).
|
Рис. 5.11. Диаграмма пространства состояний системы |
Определим интенсивности переходов из состояния в состояние.
Определим вероятности нахождения системы в каждом из трех состояний в стационарном режиме работы.
Система уравнений Чемпена – Колмогорова:
Условие нормировки:
Тогда
Подставив в полученную систему уравнений значения интенсивностей переходов из состояния в состояние, определим вероятности нахождения системы в состояниях S5, S6 и S7.
Вероятность нахождения системы в работоспособном состоянии для стационарном режиме работы равна P6() = 0,709, в состоянии аварийного ремонта – P7() = 0,119 и в состоянии планово-предупредительного ремонта – P5() = 0,172.
Ответ:
1. 1 = 9 год-1; 2 = 17 год-1; 3 = 9 год-1; 4 = 3 год-1; 5 = 4 год-1;
P1() = 0,514; P2() = 0,194; P3() = 0,051; P4() = 0,068; P5() = = 0,172;
q12 = 7,782 год-1; q21 = 46,392 год-1; q13 = 5,832 год-1; q23 = = 30,928 год-1; q15 = 3,891 год-1; q25 = 10,309 год-1; q32 = 117,647 год-1; q42 = 44,118 год-1; q34 = 58,824 год-1; q52 = 23,256 год-1.
2. P6()=0,709; P7()=0,119; P5()=0,172.
Пример 4. Диаграмма пространства состояний системы представлена на рис. 5.12.
|
Рис. 5.12. Диаграмма пространства состояний системы |
Известно следующее:
- продолжительность пребывания системы в каждом из состояний подчинена экспоненциальному закону;
- все интенсивности переходов из состояния в состояние имеют одинаковые значения:
q12 = q13 = q14 = q15 = q21 = q23 = q24 = q25 = q31 = q32 = q34 = q35 = q41 = q42 = q43 = q45 = q51 = q52 = q53 = q54 = = 2 год-1;
- S1S2S5=S6 – работоспособное состояние; S3S4=S7 – неработоспособное состояние;
- в начальный момент времени система находится в состоянии S1.
Задание:
Преобразовав исходную диаграмму пространства состояний в диаграмму с двумя состояниями, определить:
1) вероятность нахождения системы в работоспособном состоянии в момент времени t = 0,1 года;
2) вероятность безотказной работы в момент времени t = 0,5 года.
Решение:
1. Определение вероятности нахождения системы в работоспособном состоянии в момент времени t = 0,1года.
Преобразуем исходную диаграмму пространства состояний в диаграмму с двумя состояниями (рис. 5.13).
|
Рис. 5.13. Диаграмма пространства состояний для определения вероятности нахождения системы в работоспособном состоянии в момент времени t = 0,1 года |
На рис. 5.13 S6 – работоспособное, а S7 – неработоспособное состояния системы.
Определим интенсивности переходов из состояния в состояние.
Так как условие объединяемости выполняется, то
Составим систему дифференциальных уравнений Чемпена – Колмогорова с учетом условия нормировки и определим P6РС(t = 0,1).
Уравнения Чемпена – Колмогорова:
Условие нормировки:
Тогда
Из первого уравнения найдем P6(t) методом разделения переменных:
В этом случае уравнение имеет два решения:
- первое общее решение:
;
- второе общее решение:
.
Найдем частные решения, используя начальное условие P1(t = 0) = P6РС(t = 0) = 1. Первого частного решения не существует. Второе частное решение находится следующим образом:
Тогда
;
;
– частное решение.
Вероятность нахождения системы в работоспособном состоянии в момент времени t = 0,1 года равна
.
2. Определение вероятности безотказной работы в момент времени t = 0,5 года.
Составим диаграмму пространства состояний для определения вероятности безотказной работы в момент времени t = 0,5 года.
При определении вероятности безотказной работы системы принимают, что восстановление работоспособности системы из неработоспособного состояния невозможно. Диаграмма пространства состояний в этом случае выглядит следующим образом (рис. 5.14):
|
Рис. 5.14. Диаграмма пространства состояний для определения вероятности безотказной работы системы в момент времени t = 0,5 года |
На рис. 5.14 S6 – работоспособное, а S7 – неработоспособное состояния системы, q67 = 4год-1.
Составим систему дифференциальных уравнений Чемпена – Колмогорова с учетом условия нормировки и определим P7БР(t = 0,5 лет).
Так как при одной неизвестной имеем одно уравнение, то условие нормировки можно не использовать.
В этом случае уравнение имеет два решения:
- первое общее решение:
;
- второе общее решение:
(уравнение решений не имеет, так как вероятность должна быть положительной).
Найдем частное решение, используя начальные условия P1(t = 0) = P6БР(t = 0) = 1:
Тогда – частное решение.
Вероятность безотказной работы в момент времени t = 0,5 лет:
Ответ:
1. ;
2.
Пример 5. Два одинаковых объекта (А, В) образуют дублированную систему с резервированием замещением и ограниченным аварийным ремонтом. Планово-предупредительные ремонты на объектах не проводятся.
Известно следующее:
- объекты имеют независящие от времени интенсивности переходов: интенсивности отказов: λА = λВ = λ = 2 год-1; интенсивности восстановления из аварийного ремонта: μАР,А = μАР,В = µАР = 10 год-1;
- в начальный момент времени система находится в состоянии S1.
Задание:
1) Определить для стационарного режима работы: вероятность работоспособного состояния (РС), вероятность неработоспособного состояния (НС) и вероятность промежуточного состояния (ПС) системы, в котором один из элементов находится в работоспособном, а другой – в неработоспособном состоянии.
2) Составить диаграмму пространства состояний и систему уравнений Чемпена – Колмогорова с условием нормировки для определения вероятности безотказной работы системы.
Решение:
Составим диаграмму пространства состояний для определения вероятностей нахождения системы в работоспособном PРС(), неработоспособном PНС() и промежуточном PПС() состояниях (рис. 5.15).
|
Рис. 5.15. Диаграмма пространства состояний для определения вероятности нахождения системы в работоспособном состоянии (дублированная система с резервированием замещением и ограниченным аварийным ремонтом) |
Здесь приняты следующие обозначения: а, b – рабочие состояния объектов А или В; , – неработоспособные состояния А или В (в этом состоянии на объекте проводится аварийный ремонт либо объект ожидает его начала); a, b − режим ожидания объекта А или В.
Система может находиться в шести состояниях: S1 = ab – состояние, в котором А находится в рабочем состоянии, а B – в режиме ожидания; S2 = ab – состояние, в котором B находится в рабочем состоянии, а A – в режиме ожидания; – состояние, в котором А находится в неработоспособном состоянии (состоянии аварийного ремонта), а B – в рабочем состоянии; – состояние, в котором B находится в неработоспособном состоянии (состоянии аварийного ремонта), а A – в рабочем состоянии; – состояние, в котором система находится в неработоспособном состоянии. При этом на объекте A производится аварийный ремонт, так как он раньше отказал. Объект B подвергнется аварийному ремонту после окончания работ на объекте А; – состояние, в котором система находится в неработоспособном состоянии. При этом на объекте B производится аварийный ремонт, так как он раньше отказал. Объект A подвергнется аварийному ремонту после окончания работ на объекте B.
При этом
Составим систему дифференциальных уравнений Чемпена – Колмогорова с учетом условия нормировки для стационарного режима и определим вероятности нахождения системы в работоспособном РРС(∞), неработоспособном РНС(∞) и промежуточном РПС(∞) состояниях.
Условие нормировки:
.
Так как диаграмма пространства состояний симметрична относительно линии ОО´, то
Тогда
Решая данную систему уравнений, получим:
Составим диаграмму пространства состояний для определения вероятности безотказной работы.
При составлении диаграммы пространства состояний в этом случае принимают, что восстановление работоспособности системы из неработоспособного состояния невозможно (рис. 5.16).
|
Рис. 5.16. Диаграмма пространства состояний для определения вероятности безотказной работы системы (дублированная система с резервированием замещением и ограниченным аварийным ремонтом) |
При этом
Составим систему дифференциальных уравнений Чемпена – Колмогорова с учетом условия нормировки.
Система уравнений Чемпена – Колмогорова
Условие нормировки:
Ответ:
; ; .
Пример 6. Два одинаковых объекта А и В образуют дублированную систему с постоянным резервированием и ограниченным аварийным ремонтом. Планово-предупредительные ремонты на объектах не производятся.
Известно следующее:
- объекты имеют независящие от времени интенсивности переходов: интенсивности отказов: λА = λВ = λ = 2 год-1; интенсивности восстановления из аварийного ремонта: μАР,А = μАР,В = µАР = 10 год-1;
- в начальный момент времени система находится в состоянии S1.
Задание:
1) Определить для стационарного режима работы: вероятность работоспособного состояния (РС), вероятность неработоспособного состояния (НС) и вероятность промежуточного состояния (ПС) системы, в котором один из элементов находится в работоспособном, а другой – в неработоспособном состоянии.
2) Составить диаграмму пространства состояний и систему уравнений Чемпена – Колмогорова с условием нормировки для определения вероятности безотказной работы системы.
Решение:
Составим диаграмму пространства состояний для определения вероятностей нахождения системы в работоспособном PРС(), неработоспособном PНС() и промежуточном PПС() состояниях (рис. 5.17).
|
Рис. 5.17. Диаграмма пространства состояний для определения вероятности нахождения системы в работоспособном состоянии (дублированная система с постоянным резервированием и ограниченным аварийным ремонтом) |
Система может находиться в пяти состояниях: S1 = ab – состояние, в котором А и B находятся в рабочем состоянии; состояния S2 – S5 аналогичны состояниям, описанным в примере 5.
При этом
Составим систему дифференциальных уравнений Чемпена – Колмогорова с учетом условия нормировки для стационарного режима и определим вероятности нахождения системы в работоспособном РРС(∞), неработоспособном РНС(∞) и промежуточном РПС(∞) состояниях.
Система уравнений Чемпена – Колмогорова:
Условие нормировки:
Так как диаграмма пространства состояний симметрична относительно линии ОО´, то
Тогда
Решая данную систему уравнений, получим:
Составим диаграмму пространства состояний для определения вероятности безотказной работы.
При определении вероятности безотказной работы системы принимают, что восстановление работоспособности системы из неработоспособного состояния невозможно (рис. 5.18).
|
Рис. 5.18. Диаграмма пространства состояний для определения вероятности безотказной работы системы (дублированная система с постоянным резервированием и ограниченным аварийным ремонтом) |
Составим систему дифференциальных уравнений Чемпена – Колмогорова с учетом условия нормировки.
Уравнения Чемпена – Колмогорова:
Условие нормировки: .
Ответ:
Примечание. При одинаковых интенсивностях переходов из состояния в состояние элементов надежность дублированной системы с резервированием замещением выше, чем системы с постоянным резервированием.