3.3 Fonctions trigonométriques

Mots à retenir

la fonction bornée (ограниченная функция) la périodicité (периодичность)

décaler de d vers le haut (vers le bas) (сместить на d вверх (вниз))

décaler de c vers la droite (vers le gauche) (сместить на c вправо (влево))

Définition : la fonction cosinus est la fonction qui à tout nombre réel x associe le nombre cos x.

Propriétés

1) L’ensemble de définition : la fonction cosinus est définie sur R.

2) L’ensemble des images : x étant un réel quelconque la fonction cosinus est bornée.

3) La périodicité : la fonction cosinus est périodique de période 2π, donc Il suffit que x décrive l’intervalle

4) La parité : la fonction cosinus est paire et la représentation graphique est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées dans un repère orthogonal.

5) La représentation graphique 6) Les variations :

x	0 π 2π
cos x	1 1 0 0 -1

Définition : la fonction sinus est la fonction qui tout nombre réel x associe le nombre sin x.

Propriétés

1) L’ensemble de définition : la fonction sinus est définie sur R.

2) L’ensemble des images : x étant un réel quelconque la fonction sinus est bornée.

3) La périodicité : la fonction sinus est périodique de période 2π, donc Il suffit que x décrive l’intervalle

4) La parité : la fonction sinus est impaire et la représentation graphique est symétrique par rapport à l’origine du repère.

5) La représentation graphique 6) Les variations :

x	0 π 2π
sin x	1 0 0 0 -1

Définition : la fonction tangente est la fonction qui à tout nombre réel différent de avec k entier relatif, associe le nombre tan x.

Propriétés

1) L’ensemble de définition : la fonction tangente n’est pas définie pour

2) L’ensemble des images : la fonction tangente peut prendre toutes les valeurs de R.

3) La périodicité : la fonction tangente est périodique de période π, donc si Il suffit que x décrive l’intervalle ou encore

4) La parité : la fonction tangente est impaire et la représentation graphique est symétrique par rapport à l’origine du repère.

5) La représentation graphique 6) Les variations :

x	0 π
tan x	0 0

La fonction tangente est croissante sur chacun

des intervalles.

Remarque

Les représentations graphiques des fonctions cosinus et sinus sont appelées sinusoïdes.

Méthodes 

Une fonction sinusoïdale est donnée par la formule f(x) = a sin (bx + c) + d.

Dessiner les représentations graphiques des fonctions suivantes :

a) f (x) = sin 2x ; b) f (x) = 2sin x ; c) f (x) = 3sin x;

d) f (x) = sin (x -) ; e) f (x) = sin (2x 1); f) f (x) =3 + sin x.

a)

Par rapport à f(x) = sin x, la période de f (x) = sin 2x est divisée par 2. D'une manière générale, la période de la fonction f (x) = sin bx est de

b)

L'amplitude de f (x) = sin x est 2 (la fonction varie entre -1 et 1). L'amplitude de f (x) = 2sin x est 4 (la fonction varie entre -2 et 2). D'une manière générale, l'amplitude de la fonction f (x) = a sin x est 2a.

c)

L'amplitude de f (x) = 3sin x est de 6. Le signe « » provoque un « effet miroir » par rapport à l'axe des x.

d)

La courbe de f (x) = sin (x -) est décalée de vers la droite. D'une manière générale, la fonction f (x) = sin(x - c) (c>0) est décalée de c vers la droite par rapport à f (x) = sin x.

f (x) = sin (x + c) (c > 0) est décalée de c vers la gauche par rapport à f (x) = sin x.

e)

D'une manière générale, f(x) = sin (bx + c)

« commence » à . Il en va de même pour les fonctions du type f (x) = a sin (bx+c) + d.

Ci-dessus, avec b = 2 et c = 1, la fonction

f (x) = sin (2x1) commence à

f)

Par rapport à f (x) = sin x, f (x) = 3 + sin x est décalée de 3 vers le haut. D'une manière générale, une fonction f (x) = sin x + d est décalée de d vers le haut (vers le bas si d est négatif).