Задания для самостоятельного решения
Вычислить интегралы:
1.
(ответ:
).
2.
(ответ:
).
3.
(ответ:
).
4.
(ответ:
).
5.
(ответ:
).
6.
(ответ:
).
7.
(ответ:
).
8.
(ответ:
).
1.6. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен
1.
Интегралы вида
.
Выделим полный квадрат в знаменателе дроби:
.
В
зависимости от знака выражения
интеграл сведется
Пример 1. Вычислить интеграл
.
Решение
Выделим полный квадрат в знаменателе дроби
.
Тогда
.
Пример 2. Вычислить интеграл
.
Решение
Выделим полный квадрат в знаменателе дроби
.
Тогда
.
Пример 3. Найти интеграл
Решение
2.
Интегралы вида
.
Выделим в числителе производную от знаменателя. Для этого числитель представим в виде
.
Тогда
.
В первом интеграле числитель является производной от знаменателя. Поэтому
.
Второй интеграл рассмотрен в п. 1.
Пример 1. Вычислить интеграл
.
Решение
Имеем
Пример 2. Вычислить интеграл
Решение
Преобразуем знаменатель
.
Тогда
.
3.
Интегралы вида
.
Выделим полный квадрат в подкоренном выражении
Интеграл сведется к табличным интегралам 15 или 16.
Пример 1. Вычислить интеграл
.
Решение
Выделим полный квадрат в подкоренном выражении
.
Тогда
.
Пример 2. Вычислить интеграл
.
Решение
Преобразуем квадратный трехчлен к виду
.
Тогда
4.
Интегралы вида
.
Для нахождения этого интеграла выделим в числителе производную квадратного трехчлена, стоящего под знаком корня, и разложим интеграл на сумму двух интегралов
Первый из интегралов есть табличный интеграл
,
а второй рассмотрен в п. 3.
Пример 1. Вычислить интеграл
.
Решение
Выделим в числителе производную от подкоренного выражения
Пример 2. Вычислить интеграл
.
Решение
Выделим в числителе производную от подкоренного выражения
Задания для самостоятельного решения
Вычислить интегралы:
1.
(ответ:
).
2.
(ответ:
).
3.
(ответ:
).
4.
(ответ:
).
5.
(ответ:
).
6.
(ответ:
).
7.
(ответ:
).
8.
(ответ:
).
1.7. Интегрирование рациональных дробей
1.7.1. Интегрирование простейших дробей
Рациональной
дробью
называется дробь вида
,
где P(x)
и Q(x)
– многочлены. Рациональная дробь
называется правильной,
если степень многочлена P(x)
ниже степени многочлена Q(x);
в противном случае дробь называется
неправильной.
Простейшими (элементарными) дробями называются правильные дроби следующего вида:
А.
.
Б.
,
где m
– целое число, большее единицы.
В.
.
Г.
,
где n
– целое число, большее единицы.
Рассмотрим интегралы от простейших дробей:
А.
.
Б.
.
Вычисление интегралов от функций типа В было рассмотрено ранее в п. 1.6 «Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен».
Г.
Рассмотрим теперь частный случай
интеграла от простейшей дроби типа Г.
Для интеграла
(n
– целое положительное число) имеет
место следующая рекуррентная формула:
.
Эта
формула позволяет после (n-1)-кратного
применения свести данный интеграл In
к табличному интегралу
.
Пример 1. Вычислить интеграл
.
Решение
Здесь
.
После первого применения рекуррентной
формулы получим
.
К
интегралу
снова применяем рекуррентную формулу
(полагаем
)
.
Итак,
.
Окончательно имеем
.
Покажем
теперь в общем виде, как интегрируются
простейшие дроби типа Г. Требуется найти
.
Выделим в числителе производную от квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе:
.
Первый
интеграл в правой части равенства легко
находится при помощи подстановки
,
а второй преобразуем так:
.
Полагая теперь
и обозначая
,
получаем
.
Таким образом, интегрирование элементарной дроби типа Г может быть выполнено при помощи рекуррентной формулы.
Пример 2. Вычислить интеграл
.
Решение
Имеем
.
В первом интеграле
произведем замену
,
,
а во втором интеграле положим
.
Отсюда
.
Возвращаясь к старой переменной, получим
.