Задания для самостоятельного решения
1. На резистор с
постоянным сопротивлением R
подано переменное напряжение
.
Какое постоянное напряжение следует
подать на резистор R,
чтобы выделяющееся в нем за время
количество теплоты было равно количеству
теплоты, выделяющемуся за тот же период
при подаче переменного напряжения?
(Ответ:
).
2.
Электрическая цепь имеет в начальный
момент времени сопротивление R
Ом, которое в дальнейшем равномерно
возрастает со скоростью v
Ом/с. В цепь подано постоянное напряжение
U
В. Найти заряд, прошедший через цепь за
t
с (ответ:
).
3.
В цилиндрическом баке, наполненном
водой и расположенном вертикально,
имеется малое отверстие в дне. Половина
воды из бака вытекла за t
мин. За какое время вытечет вся вода?
(Считать
и
,
где v
– скорость истечения жидкости из
отверстия) (ответ:
мин).
4. Тело окружено средой с постоянной температурой T = 20 oC. За 20 мин температура тела в результате охлаждения понизилась от 100 до 60 oC. За какое время с начала охлаждения тела его температура снизится до 30 oC? (Ответ: 1 ч).
5.
Пуля, пробив доску толщиной h,
изменила свою скорость от v1
до v2.
Считая силу сопротивления пропорциональной
квадрату скорости, найти время движения
пули внутри доски (ответ:
).
Предметный указатель
Выражение подынтегральное 10
Вычисление определенных интегралов приближенное 95
путём интегрирования по частям 92
с помощью подстановки 88
Гамма-функция 127
Геометрический смысл двойного интеграла 174
Главное значение несобственного интеграла 103, 110
Гладкая кривая 153
Двусторонняя оценка интеграла по мере 76
Дифференциал дуги плоской кривой 155
Дифференцирование интеграла по параметру 126
Длина дуги 153
в прямоугольных координатах 155, 178
плоской кривой, заданной в полярных координатах 178
пространственной кривой 178
Дробь простейшая 32
рациональная 32
неправильная 32
правильная 32
простейшая 32
Замена переменной в неопределенном интеграле 16
определенном интеграле 88
Знак двойной подстановки 181
Знак интеграла 10
Интеграл абсолютно сходящийся 118
внешний 131
внутренний 131
двойной 73, 130
двукратный 130
зависящий от параметра 126
ратный 129
криволинейный 153
по длине дуги кривой 72, 153
координатам 162
неопределенный 10
несобственный 102
от разрывных функций 108
с бесконечными пределами интегрирования 102
определенный 72, 79
поверхностный по площади поверхности 73
повторный 130
по мере области 69
площади поверхности 179
с переменным верхним пределом 124
трехкратный 138
тройной 73, 137
условно сходящийся 118
циклический 22
эллиптический 68
Интегралы от дифференциальных биномов 52
Интегрирование иррациональных функций 45
методом замены переменной 17
по частям 20
в случае определенного интеграла 92
приближенное 95
простейших дробей 32
рациональных дробей 32, 36
тригонометрических функций 55
функций 10
содержащих квадратный трехчлен 25
Кривая гладкая 153
ориентированная 161
спрямляемая 153
Координатные поверхности 140
линии 140
Координаты полярные 143
сферические 149
центра тяжести 188
цилиндрические 146
Масса тела 187
Мера 70
Метод интегрирования по частям 21
замены переменной при нахождении неопределенного интеграла 17
неопределенных коэффициентов 37
Момент инерции 188
статический 187
Независимость криволинейного интеграла от формы кривой
интегрирования 168
Область правильная 129
в направлении оси Ox 129
Oу 129
Oz 136
Объем тела 174
вращения 184
с заданным поперечным сечением 182
эллипсоида 183
Оценка определенного интеграла 77
Параметр 126
Первообразная 9
Переменная интегрирования 9
Площадь криволинейной трапеции 175
плоской фигуры 175
поверхности 180
вращения 185
эллипса 90
Подстановка универсальная тригонометрическая 55
Эйлера вторая 48
первая 46
третья 49
Подстановки тригонометрические 62
Поле векторное 159
плоское 159
потенциальное 171
Потенциал поля 170
Правило вычисления двойного интеграла 130
дифференцирования определенного интеграла по переменному верхнему пределу 124
Предел интегрирования верхний 79
нижний 79
Работа силы 165
Разложение рациональной дроби на простейшие 36, 37
Расходимость интеграла 102
Свойства интеграла по мере области 74
меры 70
неопределенного интеграла 11
Сумма интегральная 71
Сходимость интеграла 102
Таблица интегралов 13
Теорема Барроу 82
о знаке интеграла по мере 76
среднем для определенного интеграла 79
значении функции в области с ненулевой мерой 77
Теоремы о сходимости несобственных интегралов 117
Трапеция криволинейная 79
Формула вычисления тройного интеграла в декартовых координатах 137
общая замены переменных 140
Грина 166
замены переменных 17
интегрирования по частям 20
Ньютона − Лейбница 79
прямоугольников 96
Симпсона 98
трапеций 97
Формулы преобразования координат 140
Функциональный определитель 142
Функция Лапласа 68
подынтегральная 10
потенциальная 170
рациональная 32
силовая 170
специальная 125
Центр тяжести 188
Циркуляция векторного поля 165
Эйлеров интеграл второго рода 127
Якобиан 142